1、高频考点集中练函数与导数1.(2019全国卷)函数y=在-6,6上的图象大致为()【命题思维分析】根据函数性质求解函数图象,意在考查排除法,估算法速解高考题的能力.【解析】选B.因为y=f(x)=,则f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点中心对称.排除选项C.又f(4)=80.排除选项D;f(6)=7.排除A.根据图象进行判断,可知选项B符合题意.【真题拾贝】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;由函数的单调性,判断图象的变化趋势;由函数的奇偶性,判断图象的对称性;由函数的周期性,判断图象的循环往复
2、.2.(2019全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)上单调递减,则()A.ff()f()B.ff()f()C.f()f()fD.f()f()f【命题思维分析】高考对函数性质的综合考查是每年命题的热点,主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用,一般是综合基础函数或指、对数函数,幂函数的图象和性质命题.【解析】选C.依据题意,函数f(x)为偶函数且函数f(x)在(0,+)上单调递减,则函数f(x)在(-,0)上单调递增;因为f=f(-log34)=f(log34);又因为01f()f.【真题拾贝】解决此类问题一般分两步:利用函数的奇偶性,将所比较的函数值对应的自变量转化到同一个单调
3、区间上,利用函数的单调性比较大小.3.(2018全国卷II)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=() A.-50B.0C.2D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1)=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0
4、)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2.【真题拾贝】函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.4.(2018全国卷I)已知函数f=2sin x+sin 2x,则f的最小值是.【命题思维分析】近年来,导数及其应用一般考查一解答一客观两个题目,客观题除了考查导数的几何意义外,还会考查导数的应用,本题意在考查导数的应用,利用导数求函数的单调性以及最值.【解析】方法一:f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1),所以
5、当cos x时函数单调递增,从而得到函数的减区间为(kZ),函数的增区间为(kZ),所以当x=2k-,kZ时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin 2x=-,所以f(x)min=2-=-.方法二:因为f(x)=2sin x+sin 2x,所以f(x)最小正周期为T=2,所以f(x)=2(cos x+cos 2x)=2(2cos2x+cos x-1),令f(x)=0,即2cos2x+cos x-1=0,所以cos x=或cos x=-1.所以当cos x=,为函数的极小值点,即x=或x=,当cos x=-1,x=,所以f=-,f=,f(0)=f(2)=0,f()=0,所以f(x)的
6、最小值为-.答案:-【真题拾贝】求最值的解题步骤:需要明确相关函数的求导公式;需要明白导数符号与函数单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间;确定函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值.5.(2018全国卷)已知函数f=.世纪金榜导学号(1)求曲线y=f在点处的切线方程.(2)证明:当a1时,f+e0.【解析】(1)f(x)的定义域为R,f(x)=,显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,所求切线斜率为k=f(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+
7、2,当a1时,方程g(x)的判别式=(2a+1)20,由g(x)=0得,x=-,2,且-02,x,f(x),f(x)的关系如下x-2(2,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值若x(-,2,f(x)f=-,又因为a1,所以01,14a+2-10,ex0,所以f(x)=0,f(x)+e0,综上,当a1时,f(x)+e0.方法二(充要条件):当a=1时,f(x)=.显然ex0,要证f(x)+e0,只需证-e,即证h(x)=x2+x-1+eex0,h(x)=2x+1+eex,观察发现h(-1)=0,x,h(x),h(x)的关系如下x(-,-1)-1(-1,+)h(x)-0+h(x)极小值所以h(
8、x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)0即f(x)+e0.当a1时,由知,-e,又显然ax2x2,所以ax2+x-1x2+x-1,f(x)=-e,即f(x)+e0.综上,当a1时,f(x)+e0.方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e0成立.当x0时,f(x)+e0等价于-e,等价于ax2+x-1-eex,即ax2-eex-x+1等价于a=k(x),等价于k(x)max1.k(x)=,令k(x)=0得x=-1,2.x,k(x),k(x)的关系如下x(-,-1)-1(-1,0)(0,2)2(2,+)k(x)+0-+0-k(x)极大值极大值又因为k(-1)=1,k(2)=-0,所
9、以k(x)max=1,k(x)1,x0,综上,当a1时,f(x)+e0.【真题拾贝】本题考查函数与导数的综合应用,第(1)问由导数的几何意义可求出切线方程,第(2)问当a1时,结合题干中f(x)的式子将f(x)+e0适当化简,结合导数的计算进行证明.6.(2017全国卷)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.世纪金榜导学号(1)求a.(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)2-2.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)0等价于g(x)0,因为g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,
10、而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g(x)=1-.当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x,f(x)=2x-2-ln x,设h(x)=2x-2-ln x,h(x)=2-,当x时,h(x)0,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增.又h(e-2)0,h0;当x(x0,1)时,h(x)0.因为f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点,由f(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0),由x0得f(x0)f(e-1)=e-2,所以e-2f(x0)2-2.【真题拾贝】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,主要考查分解转化、分类讨论和数形结合思想,备考时要明确命题方向及命题角度,从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值).(4)利用导数研究函数单调性,证明不等式.
