1、3.2 古 典 概 型 3.2.1 古 典 概 型 必备知识自主学习 1.基本事件(1)定义：一次试验中可能出现的每一个基本结果称为一个_，它们是 试验中不能再分的最简单的随机事件.(2)特点 任何两个基本事件是互斥的；任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.基本事件【思考】(1)一次试验中只能出现一个基本事件吗？提示：是的.(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？提示：不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上或两枚正面向上，所以不是基本事件.2.古典概型(1)定义 试验中所有可能出现的基本事件只有_；每个基本事件出现的可能性相等.我们将具有这两个特点的
2、概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限个(2)概率公式 对于任何事件A，_.A包含的基本事件的个数基本事件的总数P(A)=【思考】(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等.(2)使用该公式求概率的前提是什么？提示：该概率模型是古典概型.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)从区间0，6上任意取一个有理数的试验是古典概型.()(2)从甲、乙、丙三名学生中选两人参加比赛，则基本事件共有3个.()(3)某人买彩票，是否中奖是古典概型.()(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出
3、现的概率都是 .()1n2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出的点数为偶数的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.掷出所有可能的点数为1，2，3，4，5，6，其中偶数有2，4，6，所以所求概率为 =.1314122336123.(教材二次开发：练习改编)从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2 为事件A，则P(A)=_.【解析】从1，2，3中任取两个数字，所有可能的结果有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)=.答案：2323关键能力合作学习 类型一 基本事件及其计数(数学抽象、数据分析)【题组训练】1.抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是()A.
4、向上的点数是奇数 B.向上的点数是3 C.向上的点数是4 D.向上的点数是6 2.有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()A.2 B.3 C.4 D.6 3.连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.(1)写出这个试验的所有基本事件.(2)求这个试验的基本事件的总数.(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？【解题策略】基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.列举法适合于较为简单的试验问题.(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格
5、可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验的题目.(3)树状图法：使用树状的图形把基本事件列举出来.树状图法便于分析基本事件间的结构关系，适用于较复杂的试验的题目.类型二 古典概型概率的计算(数学运算、数据分析)【典例】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.步骤内容理解 题意条件：从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国
6、家去旅游.结论：(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.思路 探求分别求出基本事件的总数和所求概率的事件包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算.步骤 内容 书写 表达(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本 事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1
7、，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P=.31515步骤 内容 书写 表达(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事 件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基 本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P=.29步骤内容题后 反思解决此类问题的关键有两个：(1)准确写出试验的所有基本事件；(2)准确地确定所求概率的事件包含的基本事件数【解题策略】求古典概型概率的步骤(1)先判断是否为古典概型；(2)确定基本事件的
8、总数n；(3)确定事件A包含的基本事件个数m；(4)计算事件A的概率，即P(A)=.mn【跟踪训练】从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A=三个数字中不含1和5；(2)事件B=三个数字中含1或5.类型三 较复杂的古典概型问题(数学建模、数学运算)角度1 与其他数学知识综合的古典概型问题 【典例】从集合A=-2，-1，2中随机选取一个数记为a，从集合B=-1，1，3 中随机选取一个数记为b，则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为()A.B.C.D.【思路导引】分别从集合A，B所取的数a，b表示为(a，b)的形式，确定(a，b)的个数和a，b需要满
9、足的条件，从而计算基本事件的个数，并且利用公式计算.29134914 角度2 与顺序有关的古典概型问题 【典例】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.【思路导引】按照一定顺序写出基本事件，并计算其个数，利用古典概型的概率公式计算概率.角度3 与顺序无关的古典概型问题 【典例】某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为_.【思路导引
10、】写基本事件时注意：试验与顺序无关；做到不重不漏.【解题策略】解决有序和无序问题的两个注意点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件，解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.【题组训练】1.(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.B.C
11、.D.152512452.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为()A.B.C.D.1653611212【补偿训练】某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率.课堂检测素养达标 1.下列关于古典概型的说法中正确的是()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的
12、可能性相 等；每个基本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为n，随机事件A若 包含k个基本事件，则P(A)=.A.B.C.D.【解析】选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确.kn2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选D.事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1).3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.所有的站法有6种，分别是：(甲、乙、丙)，(甲、丙
13、、乙)，(乙、甲、丙)，(乙、丙、甲)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)；其中甲、乙两 人站在一起的站法有4种，分别是：(甲、乙、丙)，(乙、甲、丙)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)，故其中甲、乙两人站在一起的概率是 =.2312131646234.(教材二次开发：练习改编)用1，2，3组成无重复数字的三位数，这些数能 被2整除的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的 概率为 .16121323135.一个盒子内放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1，2，3，4，5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的号数和为6”所包含的基本事件.【解析】列表表示所有的基本事件.由表可直观地看出“所得两球的号数和为6”包含以下5个基本事件：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1).
