1、第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么.即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1q.(2)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(3)前n项和公式：Sn,(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q0.(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0,0,0，(1)任意两个数都有等差
2、中项，但不一定有等比中项(2)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项(3)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.当q1，a10或0q1，a10时，an是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，an是递减数列；当q1时，an是常数列；当q1时，an是摆动数列(q1)熟记常用结论1若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.2若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列3在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.4an为等比数列，若a1a
3、2anTn，则Tn，成等比数列5当q0，q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，此时k.6有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5B5
4、C4 D4解析：选Caa3a72816，a54.又a5a3q20，a54.2已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8()A32 B64C128 D256解析：选Ca2a4a16，a34(负值舍去)，又S3a1a2a3a37，联立，得3q24q40，解得q或q2，an0，q2，a8a3q527128.3设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32C63 D64解析：选C由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.4等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1_
5、.解析：由已知条件及S3a1a2a3，得a39a1，设数列an的公比为q，则q29，所以a59a1q481a1，得a1.答案：5设an是公比为正数的等比数列，Sn为an的前n项和，若a11，a516，则数列an的前7项和为_解析：设等比数列an的公比为q(q0)，由a5a1q416，a11，得q416，解得q2，所以S7127.答案：127考点一等比数列基本量的运算基础自学过关 题组练透1已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2B1C. D.解析：选C由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由
6、a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.2(2019湘东五校联考)已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是()A1 BC1或 D1或解析：选C当q1时，an7，S321，符合题意；当q1时，由得q.综上，q的值是1或，故选C.3(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比
7、q2，依题意，得S7381，解得a13.4已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.解析：设等比数列an的公比为q，由除以可得2，解得q，代入得a12，an2n1，Sn4，2n1.答案：2n1名师微点等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.考点二等比数列的判定与证明师生共研过关 典例精析已知数列an的前n项和为Sn，a11，
8、Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列证明因为an2Sn2Sn14an124an24an14an，所以2.因为S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列解题技法等比数列的判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为非零常数，q0,1)，则an是等
9、比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可过关训练1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：选D设等比数列an的公比为q，则a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足(a1q5)2a1q2a1q8，即aa3a9.2已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列
10、？若存在，求出的值和通项公式an；若不存在，请说明理由解：(1)当n1时，S1a12a13，解得a13；当n2时，S2a1a22a26，解得a29；当n3时，S3a1a2a32a39，解得a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：Sn2an3n，Sn12an13n3，an1Sn1Sn2an12an3，即2an3an1，2(an3)an13，2，存在3，使得数列an3是首项为a136，公比为2的等比数列an362n1，即an3(2n1)(nN*)考点三等比数列的性质及应用师生共研过关 典例精析(1)已知等比数列a
11、n的各项为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12B10C8 D2log35(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. BC. D.(3)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.解析(1)由a5a6a4a718，得a5a69，所以log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.(2)因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6，
12、所以a7a8a9.(3)由题意，得解得所以q2.答案(1)B(2)A(3)2解题技法应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用过关训练1在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A135 B100C95 D80解析：选A由等比数列的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7a8403135.2已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则_.解析：因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1a21910.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b199，又b21q20(q为等比数列的公比)，所以b23，则.答案：
