1、2015-2016学年安徽省宣城郎溪中学高一（下）第一次月考数学试卷（直升部）一、选择题（本大题共13小题，共60分）1下列命题为真命题的是（）A平行于同一平面的两条直线平行B与某一平面成等角的两条直线平行C垂直于同一平面的两条直线平行D垂直于同一直线的两条直线平行2下列命题中错误的是（）A如果，那么内一定存在直线平行于平面B如果，那么内所有直线都垂直于平面C如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂直于平面D如果，=l，那么l3过点（2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A1条B2条C3条D4条4若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线（）A只有一条B无数条C是平面内
2、的所有直线D不存在5在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）ABCD6两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A两条平行直线B一点和一条直线C两条相交直线D两个点7若动点P到点F（1，1）和直线3x+y4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A3x+y6=0Bx3y+2=0Cx+3y2=0D3xy+2=08正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为（）A30B45C60D759将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值为（）ABCD10如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A
3、，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有（）A4个B3个C2个D1个11正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A三角形B四边形C五边形D六边形12给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A0个B1个C2个D3个13在棱长均为2的正四棱锥PABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（）ABE平面PAD，且BE到平
4、面PAD的距离为BBE平面PAD，且BE到平面PAD的距离为CBE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30DBE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30二、填空题（共4题，每题5分，共20分）14两平行直线x+3y4=0与2x+6y9=0的距离是_15如果对任何实数k，直线（3+k）x+（12k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是_16空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是_17在y轴上的截距为6，且与y轴相交成30角的直线方程是_三、解答题（共70分）18已知直线l经过点（0，2）
5、，其倾斜角的大小是60（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积19已知三角形ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程20棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积21如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE22如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（）求证：AO平面BCD；（
6、）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（）求点E到平面ACD的距离23如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求证：面SAB面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值2015-2016学年安徽省宣城郎溪中学高一（下）第一次月考数学试卷（直升部）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，共60分）1下列命题为真命题的是（）A平行于同一平面的两条直线平行B与某一平面成等角的两条直线平行C垂直于同一平面的两条直线平行D垂直于同一直线的两条直线平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析
7、】选项A、B、D均可以从正方体模型中找到反例，故都不正确选项C可以用反证法进行证明，故c正确【解答】解：如图1，A1C1平面ABCD，B1D1平面ABCD，但是A1OC1O=O，所以A错；A1O、C1O与平面ABCD所成角度大小相同，但是A1OC1O=O，所以B错；D1A1A1A，B1A1A1A，但是B1A1D1A1=A1，所以D错；如图2，假设a，b，且ab=A，则过一点有两条直线均垂直于平面，故假设不成立，即垂直于同一平面的两条直线平行，所以C正确故选C2下列命题中错误的是（）A如果，那么内一定存在直线平行于平面B如果，那么内所有直线都垂直于平面C如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂
8、直于平面D如果，=l，那么l【考点】平面与平面垂直的性质【分析】如果，则内与两平面的交线平行的直线都平行于面，进而可推断出A命题正确；内与两平面的交线平行的直线都平行于面，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确【解答】解：如果，则内与两平面的交线平行的直线都平行于面，故可推断出A命题正确B选项中内与两平面的交线平行的直线都平行于面，故B命题错误C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确故选B3过点（2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A1条B2条C3条D4条【考点】直线的图
9、象特征与倾斜角、斜率的关系【分析】根据直线截距的意义即可得到结论【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=2k，解得k=2，此时直线为y=2x，若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，直线过点（2，4，），|a|=|b|，a=b或a=b，若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，若a=b，则方程等价为，解得b=6，a=6，此时直线方程为xy=6，故满足条件的直线有3条，故选：C4若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线（）A只有一条B无数条C是平面内的所有直线D不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】若直线a与平面不
10、垂直，有三种情况：直线a平面，直线a平面，直线a与平面相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面内与直线a垂直的直线的条数，能够得到结果【解答】解：若直线a与平面不垂直，当直线a平面时，在平面内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a平面时，在平面内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面相交但不垂直，在平面内有无数条平行直线与直线a垂直若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线有无数条故选B5在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）ABCD【考点】确定直线位置的几何要素【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，
11、由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C6两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A两条平行直线B一点和一条直线C两条相交直线D两个点【考点】平行投影及平行投影作图法【分析】两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能
12、是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系【解答】解：有两条不平行的直线，这两条直线是异面或相交，其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系与已知矛盾故选D7若动点P到点F（1，1）和直线3x+y4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A3x+y6=0Bx3y+2=0Cx+3y2=0D3xy+2=0【考点】与直线有关的动点轨迹方程；两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式【分析】因为点F（1，1）在直线3x+y4=0，所以点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，由点斜法写出即可【解答】解：点
13、F（1，1）在直线3x+y4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y4=0的斜率为3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y1=（x1）即x3y+2=0故选B8正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为（）A30B45C60D75【考点】直线与平面所成的角【分析】根据正六棱锥底面边长为a，体积为a3，确定侧棱及高的长，即可求侧棱与底面所成的角【解答】解：正六棱锥的底面边长为a，S底面积=6=体积为a3，棱锥的高h=a侧棱长为a侧棱与底面所成的角为45故选B9将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合
14、若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值为（）ABCD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是 C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案【解答】解：根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是 C，D的对称轴，AB的斜率为kAB=，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y1=2（x2）所以kCD=，CD的中点为（，），所以1=2（2）由解得m=，n=，所以m+n=，故选：A10如图，AB是
15、O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有（）A4个B3个C2个D1个【考点】直线与平面垂直的性质【分析】AB是圆O的直径，得出三角形ABC是直角三角形，由于PA垂直于圆O所在的平面，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，可以证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决【解答】证明：AB是圆O的直径ACB=90即BCAC，三角形ABC是直角三角形又PA圆O所在平面，PAC，PAB是直角三角形且BC在这个平面内，PABC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，BC平面
16、PAC，PBC是直角三角形从而PAB，PAC，ABC，PBC中，直角三角形的个数是：4故选：A11正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A三角形B四边形C五边形D六边形【考点】棱柱的结构特征【分析】学生复原图形，可以连接各边的中点，则可以确定图形的形状【解答】解：通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D12给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂
17、直其中正确命题的个数为（）A0个B1个C2个D3个【考点】平面的基本性质及推论【分析】过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；过直线外一点有无数个平面与已知直线平行；过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直【解答】解：过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，过这条直线的平面都和已知平面垂直，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过平面外一点无数个平面与已知平面垂直故不正确；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，过这条直线的平面都和已知直线平行，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过直线外一点无数个平面与已知直线平行故不正确；过直线外一点无数条直
18、线与已知直线垂直，故不正确；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故正确故选B13在棱长均为2的正四棱锥PABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（）ABE平面PAD，且BE到平面PAD的距离为BBE平面PAD，且BE到平面PAD的距离为CBE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30DBE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30【考点】直线与平面所成的角【分析】连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BE的方向向量与平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，求出BE与平面PAD夹角的正
19、弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案【解答】解：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系由正四棱锥PABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，则O（0，0，0），A（，0，0），B（0，0），C（，0，0），D（0，0），P（0，0，），E（，0，）则=（，），=（，0，），=（0，），设=（x，y，z）是平面PAD的一个法向量，则，且即，令x=1则=（1，1，1）是平面PAD的一个法向量，设BE与平面PAD所成的角为则sin=故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30故选D二、填空题（共4题，每题5分，共20分）1
20、4两平行直线x+3y4=0与2x+6y9=0的距离是【考点】两条平行直线间的距离【分析】在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离【解答】解：由直线x+3y4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y9=0的距离d=故答案为：15如果对任何实数k，直线（3+k）x+（12k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（1，2）【考点】恒过定点的直线【分析】由（3+k）x+（12k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x2y+5）=0，进而有x2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论【解答】解：由（3+k）x
21、+（12k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x2y+5）=0x2y+5=0且3x+y+1=0x=1，y=2对任何实数k，直线（3+k）x+（12k）y+1+5k=0都过一个定点A（1，2）故答案为：（1，2）16空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是3a2【考点】球内接多面体【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB
22、、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积故答案为：3a217在y轴上的截距为6，且与y轴相交成30角的直线方程是y=x6或y=x6【考点】直线的斜截式方程【分析】与y轴相交成30角的直线方程的斜率为k=tan60=，或k=tan120=，由此能求出y轴上的截距为6，且与y轴相交成30角的直线方程【解答】解：与y轴相交成30角的直线方程的斜率为：k=tan60=，或k=tan120=，y轴上的截距为6，且与y轴相交成30角的
23、直线方程是：y=x6或y=6故答案为：y=x6或y=x6三、解答题（共70分）18已知直线l经过点（0，2），其倾斜角的大小是60（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积【考点】直线的一般式方程【分析】（1）由已知中直线l的倾斜角可得其斜率，再由直线l经过点（0，2），可得直线的点斜式方程，化为一般式可得答案（2）由（1）中直线l的方程，可得直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式可得答案【解答】解：（1）因为直线l的倾斜角的大小为60，故其斜率为，又直线l经过点（0，2），所以其方程为y（2）=x即（2）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、2，所以直线l与两
24、坐标轴围成三角形的面积19已知三角形ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程【分析】（1）根据B与C的坐标求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为1，求出BC边上的高所在直线的斜率，然后由A的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；（2）由B和C的坐标，利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标，然后利用中点坐标和A的坐标写出直线的两点式方程即可【解答】解：（1）BC边所在直线的斜率为则BC边上的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程可知直线AD
25、的方程为：y0=6（x4）化简得：y=6x24 （2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得，即点由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：化简得：20棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积【考点】球内接多面体【分析】将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的ABD的面积，求得AD，AC，由勾股定理可得CD，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的ABD，已知正四面体棱长为2，所以AD=2=，AC=1，在直角三角形ACD中，CD=，可得截面面积是：SABD=2=2
26、1如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可【解答】证明：（I）O是AC的中点，E是PC的中点，OEAP，又OE平面BDE，PA平面BDEPA平面BDE（II）PO底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPO=OBD平面PAC，而BD平面BDE，平面PAC平面BDE22如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（）求证：AO平面
27、BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（）求点E到平面ACD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AOBD，由BO=DO，BC=CD，知COBD在AOC中，由题设知，AC=2，故AO2+CO2=AC2，由此能够证明AO平面BCD（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知MEAB，OEDC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦（III）设点E到平面ACD的距离为h在ACD中，故=，由AO=1，知，
28、由此能求出点E到平面ACD的距离【解答】（I）证明：连接OC，BO=DO，AB=AD，AOBD，BO=DO，BC=CD，COBD在AOC中，由题设知，AC=2，AO2+CO2=AC2，AOC=90，即AOOCAOBD，BDOC=O，AO平面BCD（II）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知MEAB，OEDC，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，OM是直角AOC斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角大小的余弦为（III）解：设点E到平面ACD的距离为h在ACD中，=，AO=1，=，点E到平面ACD的距离为23如图，在底面是直角梯形的四棱
29、锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求证：面SAB面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由题设条四棱锥SABCD的体积：V=，由此能求出结果（2）由SA面ABCD，知SABC，由ABBC，BC面SAB，由此能够证明面SAB面SBC（3）连接AC，知SCA 就是SC与底面ABCD所成的角由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值【解答】（1）解：底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=四棱锥SABCD的体积：V=（2）证明：SA面ABCD，BC面ABCD，SABC，ABBC，SAAB=A，BC面SAB BC面SBC面SAB面SBC（3）解：连接AC，SA面ABCD，SCA 就是SC与底面ABCD所成的角 在三角形SCA中，SA=1，AC=，10分2016年9月30日
