1、第三节函数的单调性与值域(二) 选题明细表知识点、方法题号函数的单调性及值域1,2,3,4,6,10,14利用单调性解方程或不等式5,8,9,13利用单调性求参数3,7,11,12一、选择题1.(2018金华十校高三模拟)下列函数中,是偶函数且在 (0,+) 上为增函数的是(C)(A)y=cos x(B)y=1-x2(C)y=log2|x|(D)y=ex-e-x解析:其中A和B选项中的函数在(0,+)不为增函数,D选项的函数为奇函数,故选C.2.函数y=()的单调递增区间是(D)(A)-1, (B)(-,(C),+)(D),2解析:由题得函数的定义域为x|-1x2,设函数u(x)=,则函数u(
2、x)在-1,上单调递增,在,2上单调递减,因为函数y=()u在定义域上单调递减,所以函数y=()在,2上单调递增.故选D.3.已知函数f(x)=则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)在R上递增,则需log21c+1,即c-1,由于c-1c=-1,但c=-1c-1,故“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件.4.若定义运算ab=则函数f(x)=log2xlox的值域是(A)(A)0,+)(B)(0,1(C)1,+)(D)R解析:由定义知f(x)=所以f(x)的值域为0
3、,+).故选A.5.已知函数f(x)=则不等式f(a2-4)f(3a)的解集为(B)(A)(2,6)(B)(-1,4)(C)(1,4)(D)(-3,5)解析:由函数图象知函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a2-4)f(3a)可得a2-43a,整理得a2-3a-40,即(a+1)(a-4)0,解得-1a0,对任意的x0,恒有|f(x)-a|f(x0)-a|.则f(x)可以为(D)(A)f(x)=lg x(B)f(x)=-x2+2x(C)f(x)=2x (D)f(x)=sin x解析:令g(x)=|f(x)-a|,存在x00,对任意的x0,恒有|f(x)-a|f(x0)-a|,所以g(x)在(
4、0,+)上有最大值.A选项g(x)=|lg x-a|无最大值;B选项g(x)=|-x2+2x-a|也无最大值;C选项g(x)=|2x-a|也无最大值.故选D.7.设xR,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有ff(x)-ex=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)的值等于(C)(A)1(B)e+1(C)3(D)e+3解析:设t=f(x)-ex,则f(x)=ex+t,则条件等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=et+t=e+1,因为函数f(x)为单调递增函数,所以函数为一对一函数,解得t=1,所以f(x)=ex+1,所以f(ln 2)=eln 2+1=3.8.(201
5、9金华十校期末调研)若关于x的不等式x3-3x2-ax+a+20在x(-,1上恒成立,则实数a的取值范围是(A)(A)(-,-3(B)-3,+)(C)(-,3(D)3,+)解析:关于x的不等式x3-3x2-ax+a+20在x(-,1上恒成立,等价于a(x-1)x3-3x2+2=(x-1)(x2-2x-2)在x(-,1上恒成立,当x=1时,1-3-a+a+2=00成立;当x1时,x-10,即ax2-2x-2恒成立,因为y=x2-2x-2=(x-1)2-3-3,所以a-3,故选A.二、填空题9.(2019宁波北仓中学高三模拟)已知f(x)=则f(f(-1)=;f(f(x)=1的解为.解析:因为f(
6、-1)=1,所以f(f(-1)=f(1)=,令f(t)=1,则有t=2或t=-1(舍去),当f(x)=2时,若x0,则x=4;若x0时,f(x)=log2(x+1)log21=0,故函数f(x)=的最小值为-1.答案:2-111.f(x)=在(2,+)递增,则k的范围是 .解析:k0时成立,k0时,f(x)在(0,)上递减,在(,+)上递增,所以2,所以0k4.综上,k的取值范围为(-,4.答案:(-,412.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:作出函数f(x)的大致图象如图所示,由图象可知若f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a+1
7、2或a4,即a1或a4.答案:(-,14,+)三、解答题13.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1.(1)求f(1);(2)若f(x)+f(2-x)2,求x的取值范围.解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.(2)因为2=1+1=f()+f()=f(),所以原不等式等价于fx(2-x)f(),由f(x)为(0,+)上的减函数,得1-x1+,即x的取值范围为(1-,1+).14.某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中x%(0x402x+-904045x100.(2)g(x)=x%f(x)+(1-x%)40=在(0,32.5)上单调递减,在(32.5,100)上单调递增,说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;当32.5%以上的人自驾时,人均通勤时间是递增的,当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.
