1、5.3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆:+y2=1(a1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆的离心率;(2)过点D的直线交椭圆于M,N两点,点N与点N关于y轴对称,求证:直线MN过定点,并求该定点坐标.3.已知椭圆C:=1(ab0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1
2、,F2为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,MF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(aR),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y00),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当
3、动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.(2017福建龙岩一模,文20)已知椭圆M:=1(ab0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值,若不能垂直,请说明理由.导学号241909676.(2017宁夏中卫一模,文20)已知椭圆=1(ab0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点M,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理
4、由.导学号241909685.3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解 动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2.动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明 由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,=16k2-320,解得k或k0,x1+x2=,x1x2=,直线MN的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN的方程为x=0,显然过
5、点(0,-2).故直线MN过定点(0,-2).3.解 (1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值.即有b2c=4,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,则椭圆方程为=1.(2)设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),设圆(x-x0)2+(y-y0)2=3过原点的切线方程为y=kx,则有,整理得(-3)k2-2x0y0k+-3=0,k1+k2=,k1k2=.又因为=1,所以可求得k1k2=-,将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,得,则,同理可得,所以|OA|2+|
6、OB|2=16.所以|OA|2+|OB|2的值为定值16.4.(1)解 因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径.所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明 由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0.又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l
7、的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a2时,d=2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2.即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解 (1)依题意椭圆M:=1(ab0)的焦距为2,离心率为,得c=,e=,可得a=2,则b=1,椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m.直线l与圆:x2+y2=1相切,=r,即m2=r2(k2+1).由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+160,所以m24k2+1,可得r24.令P(x1,y
8、1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,即(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把代入得(k2+1)(5r2-4)=0,r=,满足r2b0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且AOB的面积为,c,ab=.又a2=b2+c2,a=2,b=.椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点M满足题意,设M(m,2),当m=2时,从点M所引的两条切线不垂直.当m2时,设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k,则切线l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0.=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)2(mk-2)2-4=0,(m2-4)k2-4mk+2=0.(*)设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,k1k2=-1,解得m=,点M坐标为(,2),或(-,2).直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.
