1、南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考数学(理科)试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1若表示点,表示直线,表示平面,则下列叙述中正确的是( )A若,则 B若,则C若,则 D若,则2已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图的面积为( )A B C D 3已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 ( )A B 10 C D124.下列结论中正确的是( )A.若直线上有无数个点不在平面内，则/B若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行C若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂
2、直D四边形确定一个平面5已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是()AB或CD或6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60 B30 C20 D107函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度8 在正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线 和所成的角的余弦值是（）A B C D9如图,在中,直线过点且垂直于,动点,当点P逐渐远离点A时,的大小( )A变大 B变小 C不变 D有时变大有时变小10如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中分别是的中点，动点在线段
3、上运动时，下列四个结论：；面；面，其中恒成立的为（ ）A B C D 11在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为（ ）A B C D 12. 在等腰直角中，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（ ）A. 线段为定长 B. C. D. 点的轨迹是圆弧二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13若在圆的直径上,则直线的方程是_.14已知中，角A、B、C的对边分别为且，则_15如图，在直
4、三棱柱中，侧棱长为2，ACBC1，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使，则线段B1F的长为_16在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形, , , 若、别是棱、的中点,则下列三个说法:；三棱锥的外接球的表面积为；三棱锥的体积为；其中正确的说法有_(把所有正确命题的序号填在答题卡上)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）17、已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点.（1）求实数的取值范围；（2）若，求实数的值.18、如图，四棱锥的底面为菱形，分别为和的中点（）求证：平面（）求证：平面19记为各项为正数的等比数列的前项和，已知.（）
5、求数列的通项公式;（）令，求的前项和.20己知分别为三个内角的对边，且(I)求角的大小；(II)若，且的面积为，求的值21如图，四棱锥中，为正三角形. 且.（）证明：平面平面；（）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且/平面，求四面体的体积. 22如图1，在长方形中，为的中点，为线段上一动点现将沿折起，形成四棱锥. 图1 图2 图3（）若与重合，且 (如图2).证明：平面；（）若不与重合，且平面平面 (如图3)，设，求的取值范围.南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考数学(理科)参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分
6、，共50分）D C C C D D D A D C A B C10A【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN（1）由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，进而得到SOAC可得AC平面SBD由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EMBD，MNSD，于是平面EMN平面SBD，进而得到AC平面EMN，ACEP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EPBD；（3）由（1）可知：平面EMN平面SBD，可得EP平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂
7、直11【解析】在 取BC的中点M，连结，根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，高为，利用梯形的面积公式可求得，故选B.12.【解析】由于平面，所以，所以同理，由（1）可知点轨迹为圆弧，长度最小值为，最大值为，所以C选项错误. 二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13x-y-1=0 145 15. 1616.【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱：其中，底面为等腰直角三角形, , ， 、别是棱、的中点.对于，取中点，连接， 交于点，连接.为中点， ， 四边形为正方形，则在中，
8、， 分别为， 的中点，则，且.为的中点，且且四边形为平行四边形，故正确；对于，易得，则.，即三棱锥的外接球的球心在线段的中点处，则外接球的半径为三棱锥的外接球的表面积为，故正确；对于，易得， .在中， ， ， ，同理可得，则三棱锥为正四面体，其体积为，故正确；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）17、解析：（1）由 消去得，-2分由已知得，得，得实数的取值范围是；-5分（2）因为圆心到直线的距离为， -7分所以由已知得，解得.-10分18、【解析】解：（）证明：取中点为，在中，是中点，是中点，且，-2分又底面是菱形，是中点，且，且，四边形是平行四边形，
9、-4分又平面，平面，平面-6分（）证明：设，则是中点，底面是菱形，-8分又，是中点，-10分又，平面-12分19、解析：（）=，=或-4（舍去）-3分故,， -6分（），-9分 故.-12分20【解析】（）由正弦定理得，-2分，即-4分，-6分（）由：可得，-8分，由余弦定理得：，-10分.-12分21解析：（）证明：，且， ，又为正三角形，所以，又，所以，-2分又，/，-4分，所以平面，-5分又因为平面，所以平面平面.-6分（）如图，连接，交于点，因为/，且，所以，-7分连接，因为/平面，所以/，则，-9分由（）点到平面的距离为2，所以点到平面的距离为，-10分所以，即四面体的体积为.-12分22解析：（）由与重合，则有,-2分因为，,所以,-4分,所以平面. -6分（） 如图，作于,作于，连接.由平面平面且可得平面,故,由可得平面,故在平面图形中，三点共线且.-8分设，由，故,-10分，所以， .-12分
