1、第1课时数列的概念及通项公式学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式知识点一数列及其有关概念1一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示其中第1项也叫做首项2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an思考数列1,2,3与数列3,2,1是
2、同一个数列吗？答案 不是顺序不一样知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列知识点三函数与数列的关系数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为anf(n)知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列知识点五通项公式1如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式2通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变
3、量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？答案还可以用列表法、图象法11,1,1,1是一个数列()2数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7()3如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列()4an与an表达不同的含义()一、数列的有关概念和分类例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，；(2)2,4,6,8,10，；(3)7,7,7,7，；(4)，；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，1,2
4、，3,4，5，.解(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外跟踪训练1下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；(2)0，；(3)1，；(4)，；(5)1,0，1，sin ，；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列二、由
5、数列的前几项写出数列的一个通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，；(2)，2，8；(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an，nN*.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an，nN*.(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an由第(1)题也可以写成an(nN*)或an(nN*)(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 00
6、0，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN*.反思感悟根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(1)n或(1)n1处理符号(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等跟踪训练2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)，；(2)，；(3)7,77,777,7 777.解(1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4
7、项分子分别比分母少了3，则原数列可化为，所以它的一个通项公式为an，nN*.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an，nN*.(3)这个数列的前4项可以变为9，99，999，9 999，即(101)，(1001)，(1 0001)，(10 0001)，即(101)，(1021)，(1031)，(1041)，所以它的一个通项公式为an(10n1)，nN*.三、数列通项公式的简单应用例3已知数列an的通项公式是an2n2n，nN*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列an中的项，3是否为数列an中的项解(1)在通项公式
8、中依次取n1,2,3，可得an的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2n45，得2n2n450，解得n5或n(舍去)，故45是数列an中的第5项令2n2n3，得2n2n30，解得n1或n，故3不是数列an中的项反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项跟踪训练3已知数列an的通项公式为anqn，nN*，且a4a272.(1)
9、求实数q的值；(2)判断81是否为此数列中的项解(1)由题意知q4q272，则q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3时，an3n.显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n.令(3)n81，无解，81不是此数列中的项延伸探究已知数列an的通项公式为ann25n4，nN*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值解ann25n42，当n2或3时，an取得最小值，为a2a32.数列单调性的应用典例已知数列an的通项公式是an(n1)n，nN*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解方法一an1an(n2)n1(n1)n，当n0，即an1an；当n
10、9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.方法二根据题意，令即解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.素养提升(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2，n这一条件(2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.1下列说法正确
11、的是()A数列1,3,5,7，2n1可以表示1,3,5,7，B数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列C数列的第k项为1D数列0,2,4,6,8，可记为2n答案C解析数列1,3,5,7，2n1为有穷数列，而数列1,3,5,7，为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；在C中，ak1，故C中说法正确；在D中，an2n2，故D中说法错误2已知数列an的通项公式为an，nN*，则该数列的前4项依次为()A1,0,1,0 B0,1,0,1C.，0，0 D2,0,2,0答案A解析把n1,2,3,4依次代入通项公式，得a11，a20，a31，a40.3(多选)下
12、面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin，sin，sin，sin，C1，D1，答案CD解析选项C，D既是无穷数列又是递增数列4已知数列，则该数列的一个通项公式是_，5是该数列的第_项答案an(nN*)19解析由给出的前几项可归纳出an(nN*)故由5，得4n175，所以n19，即5是该数列的第19项5数列3,5,9,17,33，的一个通项公式是_答案an2n1，nN*1知识清单：(1)数列及其有关概念(2)数列的分类(3)函数与数列的关系(4)数列的单调性(5)数列的通项公式2方法归纳：观察、归纳、猜想3常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(1)n进行调节
13、，不注意分子、分母间的联系1(多选)下列说法正确的是()A数列可以用图象来表示B数列的通项公式不唯一C数列中的项不能相等D数列可以用一群孤立的点表示答案ABD解析数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确2数列1,3，7,15，的一个通项公式可以是()Aan(1)n(2n1)，nN*Ban(1)n(2n1)，nN*Can(1)n1(2n1)，nN*Dan(1)n1(2n1)，nN*答案A解析数列各项正、负交替，故可用(1)n来调节，又1211,3221,7231,15241，所以通项公式为an(1)n(2n1)，nN*.3数列，的第10项是()A. B. C. D.答案C解析由题意知数
14、列的通项公式是an(nN*)，所以a10.4设an(nN*)，则a2等于()A.B.C.D.答案C解析an(nN*)，a2.5数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的通项公式为()Aan(10n1)，nN*Ban(10n1)，nN*Can，nN*Dan(10n1)，nN*答案C解析因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，的通项公式为1，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的每一项都是上面数列对应项的，所以an，nN*.6323是数列n(n2)的第_项答案17解析由ann22n323，解得n17(负值舍去)323是数列n(n2)的第17项7若数列an的通
15、项公式是an32n，nN*则a2n_；_.答案34n解析因为an32n，所以a2n322n34n，.8已知数列an的通项公式为an2 0203n，则使an0成立的正整数n的最大值为_答案673解析由an2 0203n0，得n673，又因为nN*，所以正整数n的最大值为673.9写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)，；(3)1，.解(1)各项是从4开始的偶数，所以an2n2，nN*.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an，nN*.(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择
16、(1)n.又第1项可改写成分数，则每一项的分母依次为3,5,7,9，可写成(2n1)的形式分子为313,824,1535,2446，可写成n(n2)的形式所以此数列的一个通项公式为an(1)n，nN*.10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 020；(3)2 020是否为数列an中的项？解(1)设anknb(k0)，则有解得k4，b2.an4n2，nN*.(2)a2 02042 02028 078.(3)令2 0204n2，解得n505N*，2 020不是数列an中的项11(多选)数列，0，0，的通项公式可以是()Aan1(1)
17、n(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(1cos n)(nN*)答案ACD解析经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式12已知an，则数列an中相等的连续两项是()A第9项，第10项B第10项，第11项C第11项，第12项D第12项，第13项答案B解析假设anan1，则有，解得n10，所以相等的连续两项是第10项和第11项13设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是()A.B.C(1,3) D(2,3)答案D解析结合函数的单调性，要使数列an递增，则应有解得2a3，选D.14某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)
18、，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)_.答案61解析f(1)12101，f(2)1312211，f(3)135312321，f(4)13575312431，故f(n)2n(n1)1.当n6时，f(6)265161.15如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为()Aann，nN*Ban，nN*Can，nN*Dann2，nN*答案C解析OA11，OA2，OA3，OAn，a11，a2，a3，an，.16在数列an中，an.(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？(1)证明因为an1(nN*)，所以0an1，故数列的各项都在区间(0,1)内(2)解令，则n22，nN*，解得n1，即在区间内有且只有1项a1.
