1、 必备四 二级结论巧用 结论一 函数的奇偶性 1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.2.函数 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.3.如果 f(x)为偶函数,那么 f(x)=f(|x|).4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.跟踪集训 1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x0 时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b 为常数),若 f(2)=-1,则 f(-6)的值为 .2.已知偶函数 f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足 f(2x-1)0 时,f(x)=xln x,则不等式 f(x)0(0,x(a
2、,b)有解.(5)存在 x1,x2D,x1x2,f(x1)=f(x2)y=f(x),xD 不单调.2.函数的单调性与极值(1)函数 f(x)有三个单调区间f(x)有两个极值点f(x)=0 有两个不等实根;(2)函数 f(x)在(a,b)上不单调f(x)在(a,b)上有极值点,可求出 f(x)的极值点 x0(a,b).3.函数的最值 函数 f(x)在 D 上的最大值为 M0D,f(0)=M,(),恒成立.函数 f(x)在 D 上的最小值为m0D,f(0)=m,(),恒成立.跟踪集训 4.设 f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是 R 上的单调增函数,则 m 的值为 .5.已知函
3、数 f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x-3,3的最大值是 0,则实数 a 的取值范围是 .6.(2018 南通泰州中学高三期初考试)已知函数 f(x)=(x 0),(-3)+4(0)满足对任意 x1x2,都有(1)-f(2)1-2 1),若存在 x1,x2R,且 x1x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 .结论三 抽象函数的周期性与单调性 1.函数的周期性(1)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数,2a 是它的一个周期.(2)设 f(x)是 R 上的偶函数,且图象关于直线 x=a(a0)对称,则 f(x)是周期函数,2a 是
4、它的一个周期.(3)设 f(x)是 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=a(a0)对称,则 f(x)是周期函数,4a 是它的一个周期.(4)f(x+a)f(x)=k(a0)、f(x+a)+f(x)=k(a0)(k 为常数)都表明函数 f(x)是周期为 2a 的周期函数.2.函数图象的对称性(1)若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.(2)若函数 f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关于点(a,0)对称.(3)若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x
5、),则函数 f(x)的图象关于直线 x=+2 对称.(4)若 f(x+a)+f(b-x)=c,则函数 y=f(x)的图象关于点(+2,2)对称.跟踪集训 8.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=.9.若偶函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(3)=3,则 f(-1)=.10.函数 f(x)对任意 xR 都有 f(x+2)=f(-x)成立,且函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .结论四 函数零点 1.一元二次方程实根分布理论:一
6、元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.跟踪集训 11.(2018 南京、盐城一模)设函数 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x)=(3-),0 3,-3+1,x 3,若函数y=f(x)-m 有四个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 .12.已知函数 f(x)=3x-
7、32x-m 在-1,1上有零点,则实数 m 的取值范围是 .13.已知函数 f(x)=e,x Bsin Asin B,cos Acos B,sin Acos C,2+2 2,2+2 2,2+2 2.跟踪集训 17.在斜ABC 中,若 tan Atan Btan C=123,则 cos A=.18.锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsin A.(1)求 B 的大小;(2)求 cos A+sin C 的取值范围.结论七 不等式 1.2+2 2+22(a,b0).2.(1)xy2+22;(2)xy(+2)2;(3)当 x0 时,x+12;(4)当 x,y 同号
8、时,+2;当 x,y 异号时,+-2.3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在 R 上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为 af(x),xD 恒成立,则af(x)min,xD;若是 af(x),xD 有解,则 a0,xD 恒成立,即为 f(x)min0,xD.跟踪集训 19.若在区间1,3内,存在实数 x 满足不等式 2x2+mx-10,b0,且 2a+b=1,则 S=2-(4a2+b2)的最大值是 .结论八 平面向量 1.三点共线的判定 A,B,C 三点共线,共线;向量,中,A,B,C 三点共线存在实数,使得=+,且+=1.2.三角形
9、“四心”的向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则(1)O 为ABC 的外心|=|=|=2sin=2sin=2sin.(2)O 为ABC 的重心+=0.(3)O 为ABC 的垂心 =.(4)O 为ABC 的内心a+b+c=0.3.向量中线定理:ABC 中,点 D 为 BC 的中点,则+=2.4.|a|-|b|a-b|a|+|b|,注意等号成立的条件.5.若 a,b 都是非零向量,则 aba=bx1y2=x2y1夹角等于 0或 180|ab|=|a|b|.6.若 a,b 都是非零向量,则 abab=0 x1x2+y1y2=0夹角等于
10、90|a+b|=|a-b|.7.数量积的其他结论:当 a 与 b 同向共线时,ab=|a|b|;当 a 与 b 反向共线时,ab=-|a|b|;当 a 与b 共线时,|ab|=|a|b|;当 a 与 b 为任意向量时,|ab|=|a|b|cos|a|b|(为 a 与 b 的夹角);a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是=x1x2+y1y2 0,x1y2-x2y1 0.a 与 b 的夹角为钝角的充要条件是=x1x2+y1y2 0,且 a1)必是等差数列.跟踪集训 28.在等比数列an中,若 S10=10,S20=30,则 S30=.29.数列an中,+12=4an,a1=1,an0,则 an=.3
11、0.等比数列an共有奇数项,所有奇数项和 S 奇=255,所有偶数项和 S 偶=-126,末项是 192,则首项a1=.结论十一 直线与圆 1.阿波罗尼斯圆:若点 A,B 是定点,M 是动点,且 MA=kMB,k0,k1,则动点 M 的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).2.定点 A 到动直线 l 的距离等于定长的直线 l 是以 A 为圆心,定长为半径的圆的切线.3.以 AB 为直径的圆经过点 C(异于 A,B),则 ACBC,可以利用斜率或向量求解.4.对角互补的四边形有外接圆.5.以 A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.6
12、.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线.7.过圆内一定点的弦长最长的有 1 条,是过该点的直径,最短的弦有 1 条,是垂直于过该点直径的弦.跟踪集训 31.若 A(1,1),B(3,4),且点 A 和 B 到直线 l 的距离都等于 1,则这样的直线 l 有 条.32.已知圆 M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l:x+y-6=0,A 为直线 l 上一点.若圆 M 上存在两点 B,C,使得BAC=60,则点 A 横坐标的取值范围是 .33.在平面四边形 ABCD 中,BAD=9
13、0,AB=2,AD=1.若 +=43 ,则 CB+12CD 的最小值为 .结论十二 圆锥曲线 1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦 AB=2a+e(x1+x2),右焦点弦 AB=2a-e(x1+x2);(2)通径长为22;(3)焦点三角形的面积 S=b2tan 2;(4)若 A,B 是椭圆 C:22+22=1(ab0)上关于坐标原点对称的两点,P 为椭圆 C 上任意一点,则kPAkPB=-22.2.双曲线中焦点三角形的面积 S=2tan 2.3.若点 M(x0,y0)在曲线2222=1 上,则过 M 的切线方程为0 x2 0y2=1.4.过抛物线 y2=2px(p0)焦点的弦 A
14、B 有如下结论:(1)xAxB=24;(2)yAyB=-p2;(3)|AB|=2sin2(是直线 AB 的倾斜角).跟踪集训 34.设 P 是有公共焦点 F1,F2的椭圆 C1与双曲线 C2的一个交点,且 PF1PF2,椭圆 C1的离心率为e1,双曲线 C2的离心率为 e2,若 e2=3e1,则 e1=.35.已知椭圆22+22=1(ab0),M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,且直线PM,PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k20),若椭圆的离心率为32,则|k1|+|k2|的最小值为 .36.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交
15、C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为 .答案精解精析 结论一 函数的奇偶性 跟踪集训 1.答案 4 解析 由已知得 f(0)=0=1+b,b=-1,又 f(2)=2+2(a-1)-1=-1,a=0,f(x)=log2(x+2)-x-1(x0),f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.2.答案(13,23)解析 由 f(x)是偶函数知 f(x)=f(-x)=f(|x|),则 f(2x-1)f(13)f(|2x-1|)f(13),结合 f(x)在0,+)上单调递增得|2x-1|13,解得13x23,即 x 的取值范围是(13,23).3.答案(-,-e)解析 函数 f(x)为
16、定义在 R 上的奇函数,当 x=0 时,f(0)=0,不满足不等式 f(x)-e.当 x0 时,设 x0,当 x0 时,f(x)=xln x,f(-x)=-xln(-x),函数 f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=xln(-x),则 f(x)=ln,0,ln(-),0 时,f(x)=ln x+x1=ln x+1,令 f(x)=0,得 x=1e,当 0 x1e时,f(x)1e时,f(x)0,函数 f(x)在(0,1e)上递减,在(1e,+)上递增,再由函数 f(x)是奇函数,画出函数 f(x)的图象,如图:当 x=1e时取到极小值,f(1e)=1eln1e=-1e-e,不等式 f(x)-e
17、 在(0,+)上无解.f(-e)=(-e)ln-(-e)=-e,不等式 f(x)-e 的解集是(-,-e).结论二 函数的单调性、极值与最值 跟踪集训 4.答案 6 解析 由 f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是 R 上的单调增函数,得 f(x)=12x2+2mx+m-30 在R 上恒成立,则 4m2-48(m-3)0,即(m-6)20,故 m=6.5.答案(-,-5 解析 易知 f(2)=0,则要使 f(x),x-3,3的最大值是 0,只需 f(x)0,x-3,3恒成立,则-a|x-2|x2-4|,x-3,3,-a|x+2|max=5,所以 a-5,实数 a 的取值范围是
18、(-,-5.6.答案(0,14 解析 由对任意 x1x2都有(1)-f(2)1-20 成立,知 f(x)是减函数,于是0 1,-3 0,0 (a-3)0+4a,所以0 0,-1+2-5,解得 a4,故函数不单调时实数 a 的取值范围是 a4.结论三 抽象函数的 周期性与单调性 跟踪集训 8.答案 1 解析 因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为 f(x+2)为偶函数,所以 f(x+2)=f(-x+2),所以 f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以 f(x+8)=f(x),即函数 f(x)的周期为 8,故 f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1
19、.9.答案 3 解析 因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.10.答案 4 解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(x)=-f(-x).因为f(x+2)=f(-x),所以 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故 f(x)的周期为 4.所以 f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4,又因为 f(2 016)+f(2 018)=-
20、f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四 函数零点 跟踪集训 11.答案 1,94)解析 画出当 x0 时 f(x)的图象,根据偶函数的图象关于 y 轴对称可得 x 0,-2 2,4+2+1-0,解得-5a0,则 tan B=2k,tan C=3k,由 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C 得 6k=6k3,解得 k=1,则 tan A=1,则 A=4,cos A=22.18.解析(1)由 a=2bsin A 得 sin A=2sin Bsin A,因为
21、 sin A0,所以 sin B=12,又 B 是锐角,则 B=6.(2)cos A+sin C=cos A+sin(A+B)=cos A+sin(+6)=32 sin A+32cos A=3sin(+3),又由ABC为锐角三角形得0 2,0 =56-A 2,则3A2,则 A+3(23,56),3sin(+3)(32,32),即 cos A+sin C 的取值范围是(32,32).结论七 不等式 跟踪集训 19.答案 m-1 解析 由题意知,不等式 m1-2x(x1,3),易知函数 y=1-2x,x1,3单调递减,则 ymax=-1,m-1,即实数 m 的取值范围是 m2,则圆 A 和圆 B
22、相外离,所以两圆有 4 条公切线,即直线 l 有 4 条.32.答案 1,5 解析 由题意可得过点 A 作圆 M 的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于 60,连接 CM,则CM 与一条切线的夹角大于等于 30,又圆 M 的半径为 2,设 A(x,6-x),则MA=(-1)2+(5-x)24,解得 1x5.33.答案 262 解析 以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 B(2,0),D(0,1),设 C(x,y),由 +=43 得 2x-2(x-2)=43(x2-2x+y2),化简得(x-1)2+y2=4,取 E(5,0),可以验证对圆(x-1)2+y2=4 上
23、任意一点 C 都有 CB=12CE,则 CB+12CD=12(CE+CD)12DE=262,当点 C 在线段 DE 与圆的交点处时取等号,故 CB+12CD 的最小值为262.结论十二 圆锥曲线 跟踪集训 34.答案 53 解析 设椭圆的长、短半轴分别为 a1,b1,双曲线的实、虚半轴分别为 a2,b2,因为点 P 是椭圆与双曲线的一个交点,则由焦点三角形的面积得12tan 45=22tan45,即12=22,由 e2=3e1得2=31,即 a2=13a1,又由12=22得12-c2=c2-22,即12-c2=c2-19 12,109 12=2c2,则 e1=1=53.35.答案 1 解析 设
24、 P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则 k1k2=0-10-10+10+1=02-1202-12=-22=-2-22=-1+34=-14,所以|k1|+|k2|2|12|=1,当且仅当|k1|=|k2|=12时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为 1.36.答案 94 解析 由已知得焦点坐标为 F(34,0),因此直线 AB 的方程为 y=33(-34),即 4x-43y-3=0.解法一:与抛物线方程联立,消去 x 得 4y2-123y-9=0,则 yA+yB=33,yAyB=-94,故|yA-yB|=(+)2-4=6.因此 SOAB=12|OF|yA-yB|=12346=94.解法二:与抛物线方程联立,消去 y 得 x2-212 x+916=0,故 xA+xB=212.根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=212+32=12,又原点到直线 AB 的距离 d=|-3|42+(-43)2=38,因此 SOAB=12|AB|d=94.解法三:|AB|=2sin2=3sin230=12,原点到直线 AB 的距离 d=|OF|sin 30=38,SOAB=12|AB|d=121238=94.
