1、第3讲空间向量与立体几何解答题 1.(2019广东佛山模拟)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为菱形,BAD=60,AB=2,DF=BE=1,AF=CE=3,且平面ADF底面ABCD,平面BCE底面ABCD.(1)证明:EF平面ADF;(2)求二面角A-EF-C的余弦值.解析(1)证明:分别过点E,F作BC,AD的垂线,垂足分别为点N,M,连接MN.因为平面ADF底面ABCD,平面ADF底面ABCD=AD,FMAD,FM平面ADF,所以FM平面ABCD,又MN平面ABCD,所以FMMN.同理可证,EN平面ABCD,所以ENMN,所以FMEN.过点B作BGAD,垂足为G.在RtAGB中,
2、BAD=60,AB=2,则AG=1.易知ADF=60,所以在RtFMD中,MD=12,FM=32,所以GM=12.同理可得BN=12,EN=32,所以GM=BN,FM=EN.又GMBN,FMEN,所以四边形BNMG为平行四边形,四边形FMNE为平行四边形,所以MNGB,MNEF.从而MNAD,又FMAD=M,所以MN平面ADF,所以EF平面ADF.(2)以M为坐标原点,MA,MN,MF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系M-xyz,如图所示.由(1)知MN=GB=3,则A32,0,0,F0,0,32,E0,3,32,C-32,3,0,所以FE=(0,3,0),AF=-32,0,32
3、,FC=-32,3,-32.设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则mAF=0,mFE=0,即-32x1+32z1=0,3y1=0,解得y1=0,z1=3x1,令z1=3,则x1=1,y1=0,所以m=(1,0,3).设平面EFC的法向量为n=(x2,y2,z2),则nFC=0,nFE=0,即-32x2+3y2-32z2=0,3y2=0,解得y2=0,z2=-3x2,令z2=-3,则x2=1,y2=0,所以n=(1,0,-3).从而cos=mn|m|n|=1-322=-12.因为二面角A-EF-C为钝角,所以二面角A-EF-C的余弦值为-12.2.(2019浙江,19,15分)如图,
4、已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EFBC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.解析本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.本题考查了逻辑推理和直观想象的核心素养.(1)证明:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC,又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC,则A1EBC.又因为A1FAB,ABC=90,故BCA
5、1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)取BC的中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角),不妨设AC=4,则在RtA1EG中,A1E=23,EG=3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=152,所以cosEOG=EO2+OG2-EG22EOOG=35.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.3.(2019河北衡水
6、统一联考)如图,在多面体 ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,ABC=60,四边形ABEF是直角梯形,FAB=90,AFBE,AF=AB=2BE=2.(1)证明:CE平面ADF;(2)若平面ABCD平面ABEF,H为DF的中点,求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.解析(1)证法一:因为四边形ABCD是菱形,所以ADBC.又因为AFBE,AFAD=A,BCBE=B,所以平面ADF平面BCE.因为CE平面BCE,所以CE平面ADF.证法二:取AF的中点M,连接DM,EM,如图所示.由题意知AM=BE,且AMBE,所以四边形ABEM为平行四边形,即MEAB.因为四边
7、形ABCD是菱形,所以ABDC,所以MEDC,即四边形DCEM为平行四边形,所以DMCE.又DM平面ADF,CE平面ADF,所以CE平面ADF.(2)取CD的中点N,连接AN,在菱形ABCD中,ABC=60,可得ANAB.因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,AFAB,AF平面ABEF,所以AF平面ABCD.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.故A(0,0,0),C(3,1,0),D(3,-1,0),F(0,0,2),H32,-12,1,则AH=32,-12,1,AC=(3,1,0).设平面ACH的法向量为n=
8、(x,y,z),则nAH=0,nAC=0,即32x-12y+z=0,3x+y=0.令x=1,可得n=(1,-3,-3).易知平面ABEF的一个法向量为m=(1,0,0).设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为,则cos =|mn|m|n|=77,即所求锐二面角的余弦值为77.4.(2019陕西第二次教学质量检测)如图所示,等腰梯形ABCD的底角BAD=ADC=60,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且EDA=90,ED=AD=2AF=2AB=2.(1)证明:平面ABE平面EBD;(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为34.解析(
9、1)证明:平面ABCD平面ADEF,平面ABCD平面ADEF=AD,EDAD,ED平面ADEF,ED平面ABCD,AB平面ABCD,EDAB.AB=1,AD=2,BAD=60,BD=1+4-212cos60=3,AB2+BD2=AD2,ABBD.又BD平面EBD,ED平面EBD,BDED=D,AB平面EBD.又AB平面ABE,平面ABE平面EBD.(2)以B为坐标原点,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,0,0),C-12,32,0,D(0,3,0),E(0,3,2),F(1,0,1),则CD=12,32,0,DE=(0,0,2),BA=
10、(1,0,0),EF=(1,-3,-1),BE=(0,3,2).设EM=EF=(,-3,-)(01),则BM=BE+EM=(,3-3,2-).设平面ECD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面MAB的法向量为n=(x2,y2,z2),则mCD=0,mDE=0,即12x1+32y1=0,2z1=0,取y1=1,则m=(-3,1,0);nBA=0,nBM=0,即x2=0,x2+(3-3)y2+(2-)z2=0,取y2=2-,则n=(0,2-,3-3).平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为34,|cos|=|mn|m|n|=|2-|242-10+7=34,解得=12或=54(舍),点M在线段EF的中点时,平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为34.
