1、湖南省衡阳市八中2013届高三第十次教育质量检测数学（理科）考生注意：本试卷共150分；考试时间为120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的答案的题号填在答题卡上相应的位置上。）1设为虚数单位，则复数等于 A B C D 2.设集合,则“”是“”的（ ）A必要不充分条件 B充要条件C既不充分也不必要条件 D充分不必要条件3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是ABCD4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图12所示，则相应的侧视图可以为( )5左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次
2、到14次的考试成绩依次记为右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 510 3 111 4 A B C D6.已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直 线为，直线的方程为，那么A，且与圆相离B，且与圆相切C，且与圆相交D，且与圆相离7.已知ABC为等边三角形，设点P，Q满足，若，则( )A B C D8.若函数在区间的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D.二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一
3、）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 .10.如图，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心. 若，则圆的半径等于_.11.对于实数，若，则的最大值为 （二） 必做题（1216题）12函数的单调增区间是 13.设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于 14.若，则 .15. 已知满足约束条件，且的最小值为6.（1）常数 ;（2）若实数则点落在上述区域内的概率为 .(用最简分数表示)16已知数集。若数集A满足：对任意的，与两数中至少有一个属于.称数集A具有性质（1）给定两个
4、数集,则具有性质的数集为 ；(填或)（2）对所有具有性质的数集，的取值集合为 三解答题（本大题共6小题，共75分）:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(本小题12分)小王参加一次比赛，比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题. 如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功. 每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，且每个问题回答正确与否相互独立.(1) 求小王过第一关但未过第二关的概率;(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期
5、望.PDABCFE18. (本小题12分)如图，在四棱锥中，平面平面，且， 四边形满足，点分别为侧棱上的点，且（）求证：平面；（）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由19. (本小题12分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，设与所成夹角为，求的值并请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积
6、（图甲）（图乙） 20. (本小题13分)已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列； 21. (本小题13分)是抛物线上除顶点外的任意一点,过的直线与抛物线在处的切线互相垂直.（1）设,与轴的交点分别为,求证:线段的中点是一个定点.（2）设,与过抛物线的焦点的任意直线分别交于点,其中求证:成等差数列.22. (本小题13分)已知函数(为自然对数的底数) (1)当时,求的单调区间； (2)若函数在上无零点,求的最小值； (3)若对任意给定的,在上总存在两个不同的
7、，使得成立,求的取值范围。数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678答案ADDDDAAC二、填空题9.也可写为: 10. 11. 12. 13. 14. 15.(1) (2) 16.(1) (2) 三解答题（本大题共6小题，共75分）:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤17.解：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为，则4(2)X的取值为0,1000,3000, 6000，则， X的概率分布列为X0100030006000PX的数学期望E(X)01000300060002160.1218.证明：（）由已知，所以 因为，所以而平面，平面，所以平面 4分（）因为平面平面， 平面平面，
8、且，所以平面.所以，又因为，所以两两垂直 5分如图所示，建立空间直角坐标系，PDABCFExyxzx因为，所以当时，为中点，所以,所以 设异面直线与所成的角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为9分（）设，则 由已知，所以， 所以 所以设平面的一个法向量为，因为,所以 即 令，得设平面的一个法向量为，因为,所以 即 令，则若平面平面，则，所以，解得所以当时，平面平面1219.（1）如图甲，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，2分解得，4分所以，养殖区的面积； 6分（2）如图乙，设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，8分解得，9分所以，养殖区的面积， 由得， 经检验得
9、，当时，养殖区的面积 答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为12分20.解：(1)由条件得，即,.2分 所以，. .5分 (2) 由（1）可知所以，,，.7分由及得依次成递增的等差数列所以，.12分满足为常数，所以数列为等比数列. .13分21.解:由题意可知在P处的切线斜率存在.设切线 则可知其与轴的交点为,而,故与轴的交点为 联立切线与抛物线得: 令,可解得:,而的中点的横坐标为:的中点恒为定点:(2)依题意,设直线,联立可得:用代替可得: 将代入上面两式,整理得: 故成等差数列.22.解：（I）当1分由由故3分 （II）因为上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立。4分令则5分 综上，若函数 7分 （III）所以，函数8分故 10分此时，当的变化情况如下：0+最小值 即对任意恒成立。10分由式解得： 综合可知，当在使成立。13分
