1、周练卷(七)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1空间中，与向量a(3,0,4)同方向的单位向量e为(C)A(1,0,0)B(1,0,0)或(1,0,0)C. D.或解析：与a(3,0,4)同方向的单位向量为e，故选C.2.在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(D)ABC. D.解析：本题考查利用直线的方向向量求两异面直线所成角的方法以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
2、E(0,1,2)，(2,2,0)，(0,1,2)，cos，故选D.3已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为(A)A30B60C120D150解析：本题考查直线与平面所成的角的概念及利用直线的方向向量和平面的法向量求此角的方法由于cosm，n，所以m，n120，所以直线l与平面所成的角为30，故选A.4已知平面的一个法向量为n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为(B)A. B. C. D.解析：y轴的一个方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.5.如图，正四棱锥SABCD中，O为顶点
3、在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是(A)A30B45C60D75解析：如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，由，得，可取n(0,1,1)，则cos，n，所以，n60，所以直线BC与平面PAC所成的角为906030.6.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E为C1D1的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为(C)ABC. D.
4、解析：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识设AD1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E为C1D1的中点，所以E(0,1,2)，所以(1,1,0)，(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以，所以，取x1，则yz1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1,1,1)又DA平面A1B1B，所以(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cosm，.又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为，故选C.7.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD且PDAD1，AB2，点E是线段AB上一点，当二面角PECD为时
5、，AE(D)A1 B.C2D2解析：设AEa(0a2)，以点D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，(1，a，1)，(0,2，1)设平面PEC的法向量为m(x，y，z)，则，即，令y1，可得x2a，z2，则m(2a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为(0,0,1)，则|cosm，|，解得a2或2(舍去)，所以AE2，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.
6、解析：本题考查向量与平面的法向量的夹角设平面xOz的法向量为n(0，t,0)，(t0)又(1,3，)，所以cosn，因为n，0，所以sinn，.9如图，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，E为BC中点，则0.解析：本题主要考查空间两向量的数量积因为E为BC的中点，所以().因为在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，所以()(22)0.10在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O是AC的中点，OP底面ABC，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.解析：本题考查利用法向量求线面所成角的正弦值因为OP平面ABC，OAOC，ABBC，所以OAOB，O
7、AOP，OBOP.以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设ABa，则PA2a，OPa，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0,0，a).(a,0，a)，(0，a，a)，(a，a,0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z，所以平面PBC的一个法向量为n，所以cos，n，所以PA与平面PBC所成角的正弦值为.11如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为.解析：如图所示，过点C作CO平面ABDE，垂足为O，取
8、AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则CFO为二面角CABD的平面角，cosCFO.设AB1，则CF，OF，OC，O为正方形ABDE的中心如图建立空间直角坐标系，则E，A，M，N，cos，.三、解答题(本大题共3小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(15分)已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,2)，(1,2,3)，(1,3,1)(1)若(3，y,1)，且ADAC，求y的值；(2)若D的坐标为(x,5,3)，且A，B，C，D四点共面，求x的值解：A，C的坐标分别为(0,1,2)，(1,3,1)，(1,2，1)(1)(3，y,1)，且ADAC，0，即(3，y,1)(
9、1,2，1)0，32y10，解得y1.(2)A，B，C，D的坐标分别为(0,1,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(x,5,3)，(1,1,1)，(1,2，1)，(x,4,1)与不共线，A，B，C三点确定一个平面设平面ABC的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得取c1，则b2，a3，平面ABC的一个法向量为n(3,2,1)由点D在平面ABC内，得n0，3x810，x3.13(15分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点(1)求异面直线EF与DG所成角的余弦值；(2)设二面角ABDG的大小为，求|cos|的值解：(1)如图，以，为正交
10、基底建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，E(1,2,0)，F(2,1,2)，G(1,2,2)，所以(1，1，2)，(1,2,2)，所以11(1)2223，|，|3，从而cos，所以异面直线EF与DG所成角的余弦值为.(2)由(1)得B(2,2,0)，(2,2,0)，(1,2,2)设平面DBG的法向量为n1(x，y，z)，则，令x2，可得y2，z1，所以n1(2，2,1)又平面ABD的一个法向量为n2(0,0,2)，所以cosn1，n2，因此|cos|.14(15分)如图，已知等边三角形ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且
11、CNBC，连接AM，MN，BF，将AEF沿EF折到AEF的位置，使平面AEF平面EFCB.(1)求证：平面AMN平面ABF；(2)求二面角EAFB的余弦值解：(1)证明：因为E，F分别为等边三角形ABC的AB，AC边的中点，所以AEF是等边三角形，且EFBC.因为M是EF的中点，所以AMEF.又平面AEF平面EFCB，AM平面AEF，所以AM平面EFCB.又BF平面EFCB，所以AMBF.因为CNBC，所以MF綊CN，所以四边形MFCN为平行四边形，所以MNCF.在等边三角形ABC中，BFCF，所以BFMN.又AMMNM，所以BF平面AMN.又BF平面ABF，所以平面AMN平面ABF.(2)设等边三角形ABC的边长为4，取BC中点G，连接MG，由题设知MGEF，由(1)知AM平面EFCB，又MG平面EFCB，所以AMMG，如图建立空间直角坐标系Mxyz.则F(1,0,0)，A(0,0，)，B(2，0)，(1,0，)，(3，0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则由，得，令z1，则n(，3,1)易知平面AEF的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p，显然二面角EAFB是锐角，所以二面角EAFB的余弦值为.
