1、2015-2016学年浙江省金华市东阳市湖溪高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1设集合P=x|y=+1，Q=y|y=x3，则PQ=（）AB0，+）C（0，+）D1，+）2已知直线l：y=x与圆C：（xa）2+y2=1，则“a=”是“直线l与圆C相切”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3设，是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A若，则，则B若，l，则lC若则m，n，mnD若m，n，则mn4已知sinx+cosx=，则cos（x）=（）ABCD5如图，三棱锥VABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已
2、知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）ABCD6ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）AB2CD17若关于x的不等式x2+ax20在区间1，5上有解，则实数a的取值范围为（）A（，+）B，1C（1，+）D（，1）8已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M（t，0）为一个切点，则（）At=2Bt2Ct2Dt与2的大小关系不确定二、填空题9全集U=R，A=x|2x1，B=x|1x3，则AB=，B（UA）=10设an为等差数列，Sn为它的前n项和若a12a2=2，a32a4=
3、6，则a22a3=，S7=11某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，表面积是cm 212抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为13已知变量x，y满足，点（x，y）对应的区域的面积，的取值范围为14已知a，bR，若a2+b2ab=2，则ab的取值范围是15已知F为抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|FB|，则=三、解答题16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（）求ABC的面积；（）求sin（2AB）17如
4、图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在线段AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面ABC所成角为60，求二面角A1ABC的平面角的余弦值18已知椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为（）求椭圆的方程；（）是否存在过F2的直线l交椭圆于A、B两点，且满足AOB的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=（）求证an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）证明： +20函数f（x）=
5、2ax22bxa+b（a，bR，a0），g（x）=2ax2b（1）若时，求f（sin）的最大值；（2）设a0时，若对任意R，都有|f（sin）|1恒成立，且g（sin）的最大值为2，求f（x）的表达式2015-2016学年浙江省金华市东阳市湖溪高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1设集合P=x|y=+1，Q=y|y=x3，则PQ=（）AB0，+）C（0，+）D1，+）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出P中x的范围确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可【解答】解：由P中y=+1，得到x0，即P=0，+），由Q中y=x3，得到yR，即Q=R，
6、则PQ=0，+），故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知直线l：y=x与圆C：（xa）2+y2=1，则“a=”是“直线l与圆C相切”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】直线与圆；简易逻辑【分析】根据直线和圆的位置关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离d=，即|a|=，解得a=，则“a=”是“直线l与圆C相切”充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键
7、3设，是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A若，则，则B若，l，则lC若则m，n，mnD若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择【解答】解：对于A，若，则与可能相交；故A错误；对于B，若，l，则l可能在内；故B 错误；对于C，若m，n，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断mn；故C正确；对于D，若m，n，则m与n可能平行、相交或者异面故D错误；故选C【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记
8、定理是关键4已知sinx+cosx=，则cos（x）=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【专题】三角函数的求值【分析】变形已知式子可得sinx+cosx=，进而可得coscosx+sinsinx=，由两角差的余弦公式可得【解答】解：sinx+cosx=，sinx+cosx=，coscosx+sinsinx=cos（x）=故选：B【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题5如图，三棱锥VABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题【分析】由三视图的画图要求
9、“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案【解答】解：设底面正ABC的边长为a，侧面VAC的底边AC上的高为h，可知底面正ABC的高为，其主视图为VAC，；左视图的高与主视图的高相等，左视图的高是h，又左视图的宽是底面ABC的边AC上的高，S侧视图=故选B【点评】本题考查了三视图的有关计算，正确理解三视图的画图要求是解决问题的关键6ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）AB2CD1【考点】正弦定理；二倍角的正弦【专题】解三角形【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的
10、正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值【解答】解：B=2A，a=1，b=，由正弦定理=得： =，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=3+c23c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2故选B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键7若关于x的不等式x2+ax20在区间1，5上有解，则实数a的取值范围为（）A（，+）B，1C（1，+）D（，1）【考点】一元二次不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】利用分离常数法得出不等式ax在x1，
11、5上成立，根据函数f（x）=x在x1，5上的单调性，求出a的取值范围【解答】解：关于x的不等式x2+ax20在区间1，5上有解，ax2x2在x1，5上有解，即ax在x1，5上成立； 设函数f（x）=x，x1，5，f（x）=10恒成立，f（x）在x1，5上是单调减函数，且f（x）min=f（5）=5=，a；即实数a的取值范围为（，+）故选：A【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目8已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M（t，0）为一个切点，则（）At=2Bt2Ct2
12、Dt与2的大小关系不确定【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】综合题【分析】由题意知，圆C是AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，由此能求出t的值【解答】解：由题意知，圆C是AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，MF2=QF2=（AF1+AF2）（AF1+AQ）=2aAF1AP=2aF1P=2aF1MMF1+MF2=2a，t=a=2故选A【点评】本题主要
13、考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想二、填空题9全集U=R，A=x|2x1，B=x|1x3，则AB=2，3，B（UA）=（，2）1，+）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出A的补集，找出B与A并集合和集合B与A补集的并集即可【解答】解：全集U=R，A=x|2x1=2，1，B=x|1x3=1，3，CUA=（，2）（1，+），AB=2，3B（CUA）=（，2）1，+），故答案为：2，3，（，2）1，+）【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键
14、10设an为等差数列，Sn为它的前n项和若a12a2=2，a32a4=6，则a22a3=4，S7=28【考点】等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用a12a2=2，a32a4=6，求出d=2，a1=2，再求出结论【解答】解：a12a2=2，a32a4=6，两式相减可得2d4d=4，d=2，a1=2，a22a3=02（24）=4；S7=72+（2）=28，故答案为：4，28【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础11某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，表面积是2cm 2【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离
15、【分析】由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥，由三视图中的数据和间接法求出几何体的体积，再由三角形的面积公式求出表面积【解答】解：由三视图可得，该几何体是棱长为1的正方体的内接正四棱锥，所以此正四棱锥的体积V=14=cm3，由图可得正四面体的棱长是，所以表面积S=4=2cm 2故答案为：；2【点评】本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积，解题的关键是由三视图正确还原几何体，并求出几何体中几何元素的长度，考查空间想象能力12抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为x22y+1=0【考点】圆锥曲线的轨迹问题【专题】计算题；圆锥曲线的
16、定义、性质与方程【分析】由题意可得可得2p=4，由此求得a的值；设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y1，利用P为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论【解答】解：抛物线y=ax2即x2=y，根据它的焦点为F（0，1）可得2p=4，a=，设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y1，P为抛物线上的动点，2y1=4x2，即x22y+1=0故答案为：；x22y+1=0【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查代入法求轨迹方程，属于中档题13已知变量x，y满足，点（x，y）对应的区域的面积，的取值范围为2，【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题
17、；不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，从而求出其面积，再由斜率的定义求得3，化简=+，从而求其取值范围【解答】解：由题意作出其平面区域，由题意可得，A（，），B（1，3）；故点（x，y）对应的区域的面积S=2（1）=；则3；故=+；故2+；故答案为：，2，【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题14已知a，bR，若a2+b2ab=2，则ab的取值范围是，2【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】灵活应用基本不等式a2+b22ab，即可求出ab的取值范围【解答】解：当ab0时，a，bR，且a2+b2ab=2，a2+b2=ab
18、+2，又a2+b22ab当且仅当a=b时“=”成立；ab+22ab，ab2，当且仅当a=b=时“=”成立；即0ab2；当ab=0时，不妨设a=0，则b=，满足题意；当ab0时，又a2+b22ab，ab+22ab，3ab2，ab，当且仅当a=、b=，或a=、b=时“=”成立；即0ab；综上，ab的取值范围是，2故答案为：，2【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，解题时应注意不等式成立的条件是什么15已知F为抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|FB|，则=3+2【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设点
19、A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）由可得x23px+=0，（x1x2）x1=p，x2=p，由抛物线的定义知=3+2故答案为：3+2【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用，知识综合性强三、解答题16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（）求ABC的面积；（）求sin（2AB）【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，
20、由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2AB）的值解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知ABC为等腰三角形，作BDAC于D，可求BD=，即可求三角形面积（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C2AB=2B从而sin（2AB）=sin（2B）=sin2B，代入即可求值【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinBa=2b又ab=2，a=4，b=2 cosB= sinB= SABC=acsinB= （II）cosA=s
21、inA= sin2A=2sinAcosA=2cos2A=cos2Asin2A= sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB= 解法二：（I）由sinA=2sinBa=2b又ab=2，a=4，b=2 又c=4，可知ABC为等腰三角形 作BDAC于D，则BD= SABC=（II）cosB= sinB= 由（I）知A=C2AB=2B sin（2AB）=sin（2B）=sin2B=2sinBcosB =2=【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题17如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在线段AC上，
22、ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面ABC所成角为60，求二面角A1ABC的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明：BC平面ACC1A1，可得BCAC1，ACC1A1为菱形，所以A1CAC1，从而可得AC1平面CBA1，即可证明AC1A1B；（）（解法一）设直线AA1与平面ABC所成角为60，作DKAB于K，连结A1K，则A1KAB，所以A1KD即为二面角A1ABC的平面角，再求二面角A1ABC的平面角的余弦值；（解法二）在平面ABC内，过点D作AC的垂线D
23、y，则Dy，DA，DA1两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面A1AB的一个法向量为，平面ABC的一个法向量为，利用向量的夹角公式求二面角A1ABC的平面角的余弦值【解答】（ I）证明：因为A1D平面ABC，A1D平面A1AC，所以二面角A1ACB为直二面角，BCAC，所以BC平面ACC1A1，所以BCAC1，平行四边形ACC1A1中，AC=CC1=2，所以ACC1A1为菱形，所以A1CAC1，所以AC1平面CBA1，而A1B平面CBA1，所以AC1A1B（ II）（解法一）由于A1D平面ABC，所以A1AD即为直线AA1与平面ABC所成的角，故A1AD=60，作DKAB于K，连结A1K，则A
24、1KAB，所以A1KD即为二面角A1ABC的平面角，RtA1AD中，RtAKD中，RtA1KD中， =，所以即二面角A1ABC的平面角的余弦值为（解法二）由于A1D平面ABC，所以A1AD即为直线AA1与平面ABC所成的角，故A1AD=60，AD=DC=1，在平面ABC内，过点D作AC的垂线Dy，则Dy，DA，DA1两两垂直，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（1，1，0），所以，平面A1AB的一个法向量为平面ABC的一个法向量为所以即二面角A1ABC的平面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角A1ABC的平面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
25、18已知椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为（）求椭圆的方程；（）是否存在过F2的直线l交椭圆于A、B两点，且满足AOB的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）首先，可以设F（c，0）（c0），根据e=，得a=，然后根据AF2F1F2，得到A（c，），从而得到直线AF1的方程为y=，再结合O到直线AF1的距离为，得到，从而解得a=，b=c=1，从而得到椭圆的标准方程；（）首先，假设存在，然后，设直线
26、的方程，建立面积关系式，然后，求解即可【解答】解：（）设F（c，0）（c0），根据e=，得a=，b=c，AF2F1F2，A（c，），直线AF1的方程为y=，x4y+c=0，O到直线AF1的距离为，故，a=，b=c=1，椭圆的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l不垂直x轴时，设直线的方程为：y=k（x1），代入椭圆方程得：（1+2k2）x24k2x+2k22=0x1+x2=，x1x2=，|AB|=点O多直线l的距离为d=，解得k2=1，k=1，直线l的方程为：xy1=0或x+y1=0，当直线l垂直于x轴时，不合题意，直线l的方程为：xy1=0或x+y1=0【点评】本题重点考查
27、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题19已知数列an的前n项和为Sn，Sn=（）求证an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）证明： +【考点】等比数列的性质；数列的求和【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（）依题意可求得a1=2，当n2且nN*时，有an=SnSn1，从而得an3an1=2，an+1是以a1+1=3为首项，3为公比的等比数列，从而可求得an+1=3n，继而可得答案；（）利用（）的结论an=3n1，可得=，即可得出结论【解答】解：（）对任意nN*，都有Sn=，且S1=a1，a1=S1=a11，得a1=2当n2且nN*时，有an=SnSn1=（ann
28、）an1（n1）= anan11，即an3an1=2，an+1=3（an1+1），由此表明an+1是以a1+1=3为首项，3为公比的等比数列an+1=33n1=3n，an=3n1故数列an的通项公式为an=3n1；（）=，+（+）=（1）【点评】本题考查数列求和，考查等比关系的确定，考查综合分析与运算能力，属于中档题20函数f（x）=2ax22bxa+b（a，bR，a0），g（x）=2ax2b（1）若时，求f（sin）的最大值；（2）设a0时，若对任意R，都有|f（sin）|1恒成立，且g（sin）的最大值为2，求f（x）的表达式【考点】复合三角函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质【分析】
29、（1）令sin=t0，1，问题等价于求f（t）=2at22bta+b在t0，1的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sin=t1，1，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，1），进而可得ab的值，可得解析式【解答】解：（1）令sin=t0，1，问题等价于求f（t）=2at22bta+b在t0，1的最大值，a0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sin=t1，1，则|f（t）|1可推得|f（0）|1，|f（1）|1，|f（1）|1，a0，g（sin）max=g（1）=2，而g（1）=2a2b=2而f（0）=ba=1而t1，1时，|f（t）|1，即1f（t）1，结合f（0）=1可知二次函数的顶点坐标为（0，1）b=0，a=1，f（x）=2x21【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题
