1、陕西省榆林市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）满分150分，时间120分钟.一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给集合，直接求交集即可得解.【详解】由，故选：C.2. 已知等比数列的各项都是正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的性质结合数列是正项数列可求得的值.【详解】已知等比数列的各项都是正数，且，由等比中项的性质可得。因此，.故选：C.3. 若，则是（ ）A. 第一象限角B.
2、 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据各象限的三角函数的符号判断即可【详解】解：，在第二、四象限，在第二、三象限，故的终边在第二象限，故选：4. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为B,故选B点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几
3、何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5. 如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出.【详解】依题意可知是平行四边形对角线的交点，所以.故选:B【点睛】本小题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题.6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、
4、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】，则，又、，.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知直线平面，则“直线平面”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：直线平面，垂直于平面内所有直线，又直线平面，直线直线，充分性成立；必要性：若且直线平面，则直
5、线平面不成立，必要性不成立.故选：A.【点睛】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.8. 已知过点的直线l与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先可得在圆上，然后可得切点与圆心连线与直线平行，即可建立方程求解.【详解】因为点满足圆的方程，所以在圆上，又过点的直线与圆相切，且与直线垂直，所以切点与圆心连线与直线平行，所以直线的斜率为：，故选：D9. 已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据可判断函数单调性，再根据二次函数图
6、像性质求参数取值范围.【详解】由题干任意，且，都有，得函数在单调递增，又函数为二次函数，故其开口向上，且对称轴在区间的左侧，即，解得，故选：C.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析10. 边长为4的正方形的四个顶点都在球上，与平面所成角为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据线面角求得球的半径，再由球的表面积公式可得选项.【详解】如图，设正方形外接圆的圆心为，由题意，则，球的表面积.故选：
7、A.【点睛】本题考查空间中的线面角的定义和计算，以及球的表面积，属于中档题.11. 已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据题意求出，再利用裂项求和法即可求解.【详解】是一个等差数列的前项和，则，解得，所以，所以，所以的前项和为，则.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.12. 已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根
8、据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求得结果.【详解】己知双曲线(，)的右焦点为，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率，.故选：A.【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所满足的关系，属于基础题目二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知向量不共线，若，则实数_【答案】【解析】【分析】根据，且向量不共线，可得比例式，即可求解处的值.【详解】，向量不共线，则.故答案为：.14. 某商店的有奖促销活动中仅有一等奖二等奖鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率
9、为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为_.【答案】0.39【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式即可求解该题.【详解】中奖可分为三个互斥事件：一等奖、二等奖和鼓励奖，故中奖的概率为：，中奖与不中奖互为对立事件，故不中奖的概率为：.故答案为：.15. 为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度(单位：)随时间(单位：)的变化关系为，则池水中药品的浓度最大可达到_.【答案】4【解析】【分析】，然后利用对勾函数的知识可得答案.【详解】因为，所以当时故答案为：416. 已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，
10、现有如下命题：函数的最小正周期是；：函数在区间上单调递增；：函数在区间上的值域为.则下述命题中所有真命题的序号是_.；.【答案】【解析】分析】首先根据平移变换规律求函数，再根据三角函数的性质判断三个命题的真假，最后根据复合命题真假的判断方法判断选项.【详解】，的周期，所以函数的最小正周期是，所以是假命题；当时，再次区间函数先减后增，所以是假命题；时，所以，函数的值域是，所以是真命题.根据复合命题真假的判断方法可知正确.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零
11、点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. （1）解不等式；（2）已知函数，若对于一切实数都成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式等价于，且，解出即可；（2）由条件可得，解出即可.【详解】（1）不等式可转化成不等式，但，解得或，原不等式的解集为.（2），由二次函数的性质，得，解得，故的取值范围是.18. 设等差数列的前项和为，.（1）求；（2）设，证明数列是等
12、比数列，并求其前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析；.【解析】【分析】（1）利用等差数列的求和公式和基本量运算得到；（2）利用定理证明数列是等比数列，公式法求和即可【详解】（1）由题可知是等差数列.由，联立解得，所以；（2）由，得数列是首项为，公比为2的等比数列.数列的前项和.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查学生计算能力，属于基础题19. 在中，内角，的对边分别为，若，.（1）求的值；（2）设在边上，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理求出cosB，从而求出sinB的值；（2）根据题意画出图形，利用余弦定
13、理求出BD的值，再求ABC的面积【详解】（1）ABC中，sin2A+sin2Csin2BsinAsinC，由正弦定理得，a2+c2b2ac，所以cosB；又B（0，），所以sinB；（2）如图所示，设BDAD2DCx，由cAB2，利用余弦定理得，AD2AB2+BD22ABBDcosB，即x222+x222x，解得x3，CDx，所以ABC的面积为SABCABBCsinB2（3+）3【点睛】方法点睛：三角形面积的常用方法：.20. 为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，
14、各类商贩所占比例如图.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图.若从该果蔬经营点的日收入超过元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过元的概率.【答案】（1）应抽取小吃类商贩（家），果蔬类商贩（家）；（2）.【解析】【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天，其中超过元的有天，记为、，其余
15、天为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为，按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：（家），果蔬类商贩：（家）.（2）该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天，其中超过元的有天，记日收入超过元的天为、，其余天为、，随机抽取两天的所有可能情况有：、，共种，其中至少有一天超过元所有可能情况有：、，、，共种.所以，这两天的日收入至少有一天超过的概率为.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）树状图法；（2）列举法；（3）列表法；（4）排列组合数应用.
16、21. 已知椭圆：的离心率为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点.（1）求的值；（2）设为与的公共点，若，求与的标准方程.【答案】（1）；（2）椭圆方程，抛物线方程为.【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，抛物线方程为，然后分别求出、即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点的坐标，然后由求出即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以设其方程为，令解得，所以，又抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以设其方程为，令解得，所以，故.（2）由消去得：，解得或（舍）.所以，因为，所以.即椭圆方程为，抛物线方程为.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的
17、综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题.22. 如图，四边形与四边形均为菱形，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）与交于点，连接，证明，然后得到平面即可；（2）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面和平面的法向量，然后可算出答案.【详解】（1）证明：与交于点，连接，是中点，且是中点，四边形为菱形，又，平面，平面，平面平面（2）易知，两两垂直以为原点，、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系设，四边形为菱形，则，故，设平面的一个法向量为则，取，得显然，为平面的一个法向量由图知，二面角的平面角为锐角二面角的余弦值为【点睛】关键点睛：用向量法求解空间角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.
