1、核心素养测评五十四 圆锥曲线的最值问题 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.已知 F1,F2分别为椭圆 C 的两个焦点,P 为椭圆上任意一点.若的最大值为 3,则椭圆 C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选 B.P 点到椭圆 C 的焦点的最大距离为 a+c,最小距离为 a-c,又的最大值为 3,所以=3,所以 e=.2.直线 l 是抛物线 x2=2y 在点(-2,2)处的切线,点 P 是圆 x2-4x+y2=0 上的动点,则点 P 到直线 l的距离的最小值等于 ()A.0 B.C.-2 D.【解析】选 C.抛物线 x2=2y,即 y=,y=x,在点(-2,2)处的切线斜率为-2,
2、则切线 l 的方程为 y-2=-2(x+2),即 2x+y+2=0,所以圆心(2,0)到 l 的距离是=,圆的半径为 2,则点 P 到直线的距离的最小值是-2.3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍然以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出下列式子:a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2
3、a1c2;a2+c2,所以错误;对于,因为椭圆中的a-c是椭圆上的点到焦点的最小距离,所以a1-c1=a2-c2,所以正确;对于,因为由图可以看出椭圆比的离心率大,所以是错误的,正确.4.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是 C 上两动点,且AFB=(为常数),线段 AB 中点为 M,过点 M 作 l 的垂线,垂足为 N,若的最小值为1,则=()A.B.C.D.【解析】选 C.如图,过点 A,B 分别作准线的垂线 AQ,BP,垂足分别是 Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形 ABPQ 中,2|MN
4、|=|AQ|+|BP|=a+b.在AFB 中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos.所以=4=44=2-2cos,当且仅当=,即 a=b 时等号成立.因为的最小值为 1,所以 2-2cos=1,解得 cos=,所以=.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.如图,已知抛物线 C1的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,且过点(3,6),圆 C2:x2+y2-6x+8=0,过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为_.【解析】由题意,抛物线过点(3,6),得抛物线方程 y2=12x,设焦点为 F(3,0),圆的标准方程为(x-3)
5、2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径 r=1.由于直线过焦点,所以有+=,又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4=3(|PF|+3|QF|)+4=3+416+6.当且仅当|PF|=|QF|时取等号.答案:16+6 6.已知直线 l:x+y=3 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,点 P 在椭圆+y2=1 上运动,则PAB 面积的最大值为_.【解析】因为 l:x+y=3 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,所以 A(3,0),B(0,3),因此|AB|=3,又点 P 在椭圆+y2=1 上运动,所以可设 P(cos,sin)
6、,所以点 P 到直线 l 的距离为 d=(其中 tan=),所以 SPAB=|AB|d.答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)7.已知椭圆 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,且长轴长是短轴长的倍.(1)求椭圆 的标准方程.(2)设 P(2,0),过椭圆 左焦点 F 的直线 l 交 于 A、B 两点,若对满足条件的任意直线 l,不等式(R)恒成立,求 的最小值.【解析】(1)依题意,a=b,c=1,a2-b2=c2,解得 a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-2,y1)(x2-2,y2)=(x1-2)(
7、x2-2)+y1y2.当直线 l 垂直于 x 轴时,x1=x2=-1,y1=-y2且=,此时=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),所以=(-3)2-=;当直线 l 不垂直于 x 轴时,由题意设直线 l:y=k(x+1),由整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以 x1+x2=-,x1x2=,所以=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)-(k2-2)+4+k2=-0),因为|OA|=,所以=,又因为点 A 在椭圆上,所以+=1,由解得:或 所以 A 的坐标为或,又因为
8、F 的坐标为(0,),所以直线 AF 的方程为 y=-x+或 y=x+.(2)当 A 在第一象限时,直线 AF:y=-x+,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 两式相减得+=0,因为 MN 不过原点,所以=-,即 kMNkOP=-,同理:kABkOQ=-,又因为 O,P,Q 在同一条直线上,所以 kOP=kOQ,所以 kMN=kAB=-,设直线 MN:y=-x+m,由得 5x2-2mx+2m2-18=0,由0,得-m.由根与系数的关系得 x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=.又因为 O 到直线 MN 的距离 d=|m|,所以 SOMN=|MN|d=|m|=3,当且仅当 m2=10-m2,即 m=时等号成立,所以OMN 的面积的最大值为 3,当 A 在第二象限时,由对称性知,OMN 面积的最大值也为 3.综上,OMN 面积的最大值为 3.
