1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系(二) 选题明细表知识点、方法题号直线与圆相交问题1,4,10,13直线与圆相切问题2圆与圆、直线与圆的位置关系及应用3,5,6,7,8,9,11,12,14一、选择题1.圆心坐标为(2,-1)的圆在直线x-y-1=0上截得的弦长为2,那么这个圆的方程为(A)(A)(x-2)2+(y+1)2=4(B)(x-2)2+(y+1)2=2(C)(x-2)2+(y+1)2=8(D)(x-2)2+(y+1)2=16解析:圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离为d=,由r2=2+d2得r2=4,故方程为(x-2)2+(y+1)2=4.故选A.2.两圆O1:x2+y2-6x
2、+16y-48=0与O2:x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为(C)(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条解析:圆O1为(x-3)2+(y+8)2=121,所以O1(3,-8),r1=11.圆O2为(x+2)2+(y-4)2=64,所以O2(-2,4),r2=8.因为|O1O2|=13.所以r1-r2|O1O2|0),若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为(B)(A)6(B)5(C)4(D)3解析:通过圆的方程可知,圆心C(3,),半径为1,设点P(a,b),则=(-m-a,-b),=(m-a,-b),因为APB=90,所以=(-m-a)(m-a)+b2=0,整理得m2
3、=a2+b2,m=,几何意义为求OP的最大距离,即OC+r=4+1=5,所以m的最大值为5.故选B.二、填空题9.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2,则这样的直线有条.解析:点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2的直线等价于与圆(x-1)2+y2=1和圆(x-4)2+y2=4都相切的直线,作图可知两圆公切线有3条.答案:310.已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x-(m-1)y=2垂直,则m的值为 ;动直线l被圆C:x2-2x+y2-8=0截得弦长的最小值为 .解析:因为直线l:mx-y=1,直线l与直线x-(m-1)y=2垂直.所以m1+(-1
4、)-(m-1)=0,解得m=.因为圆C:x2-2x+y2-8=0的圆心C(1,0),半径r=3,圆心C(1,0)到直线l:mx-y=1的距离d=,所以弦长为2=2=2,所以当且仅当m=-1时,动直线l:mx-y=1被圆C:x2-2x+y2-8=0截得的最短弦长为2.答案:211.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是.解析:圆C2上的点关于直线y=x的对称后全在圆为C3:(x-1)2+(y-2)2=1,从而只要C1,C3有交点即可,即d=|r-1|,r+1,从
5、而,解得-1r+1.答案:-1,+112.已知圆C:(x-2)2+y2=1,若直线y=k(x+1)上存在点P,使得过P向圆C所作两条切线所成角为,则实数k的取值范围为.解析:本题等价于圆心到直线距离d2,所以2,得-k.答案:-,13.已知点A(-2,0),B(4,0),圆C:(x+4)2+(y+b)2=16,点P是圆C上任意一点,若为定值k,则b=,k=.解析:设P(x,y),=k,则=k,整理得(1-k2)x2+(1-k2)y2+(4+8k2)x+4-16k2=0,整理可得x2+y2+x+=0,又P是圆C上的任意一点,故k1,圆C的一般方程为x2+y2+8x+2by+b2=0,因此=8,2
6、b=0,=b2,可得b=0,k=.答案:0三、解答题14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(2,0)和点B(3,1),且圆心C在直线x-y-3=0上,过点P(0,1)且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点M,N.(1)求圆C的方程,同时求出k的取值范围;(2)是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.解:(1)AB的中垂线方程为y=-x+3,联立方程得圆心坐标为C(3,0),易得圆的半径r=1,故圆C的方程为(x-3)2+y2=1.由直线y=kx+1与圆相交,得圆心C到直线的距离小于半径,所以1-k0,即k的取值范围为(-,0).(2)法一设M(x1,y1),N(x2,y2),+=(x1+x2,y1+y2),=(3,-1),由可得(1+k2)x2+(2k-6)x+9=0,可得x1+x2=.假设存在k,使得+与共线,则3(y1+y2)+(x1+x2)=0(3k+1)(x1+x2)+6=0k=-.由(1)可知k(-,0),故没有符合题意的常数k.法二假设存在常数k,使得向量+与共线,设MN中点为 D(x0,y0),则PCOD,且CDPD,P(0,1),C(3,0),=(3,-1),解得所以CD=1,所以直线y=kx+1与圆相切,矛盾,故没有符合题意的常数k.
