1、第三讲平面向量的数量积知识梳理双基自测知识点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作a，b，则_AOB_叫做向量a与b的夹角；范围是_0，_.a与b的夹角为_时，则a与b垂直，记作ab.知识点二平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_|a|b|cos _，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：a
2、b|a|b|cos _x1x2y1y2_.模：|a|_.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.夹角：cos _.已知两非零向量a与b，abab0_x1x2y1y20_；abab|a|b|.(或|ab|a|b|)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.(2)平面向量数量积的运算律abba(交换律)ab(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)1两个向量的数量积是一个实数0a0而0a0.2数量积不满足结合律(ab)ca(bc)3ab中的“”不能省略aaa2|a|2.4两向量a与b的夹角为锐角ab0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为
3、钝角ab0，则a与b的夹角为锐角；ab0，则a与b的夹角为钝角()(4)两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(5)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60.()(6)若ab0，则a0或b0.()(7)(ab)ca(bc)()(8)若abac(a0)，则bc.()题组二走进教材2(必修4P107T2改编)向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab)a(A)A6B5C1D6解析由题意知2ab(3,0)，(2ab)a(3,0)(2，1)6，故选A3(必修4P106T5改编)已知向量a与b的夹角为，|a|，则a在b方向上的投影为(C)ABCD解析a在b方向上的投影为|a
4、|cos a，bcos .选C4(必修4P108T4改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则的值为_1_.解析设向量，的夹角为，则|cos |cos |()21.题组三走向高考5(2020课标，14,5分)设向量a(1，1)，b(m1,2m4)，若ab，则m_5_.解析由ab得ab0，即m1(2m4)0，解得m5.6(2020课标，14,5分)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.解析由|ab|1，得|ab|21，即a2b22ab1，而|a|b|1，故ab，|ab|.7(2019全国卷，5分)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为(B)ABCD解析解
5、法一：由题意得，(ab)b0ab|b|2，|a|b|cos a，b|b|2，|a|2|b|，2|b|2cos a，b|b|2cos a，b，a，b，故选B解法二：如图所示，设a，b，则ab，B，|2|，AOB，即a，b.考点突破互动探究考点一平面向量数量积的运算师生共研例1 (1)(2019全国卷，5分)已知(2,3)，(3，t)，|1，则(C)A3B2C2D3(2)(2020北京，13,5分)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则|_；_1_.解析(1)因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选C(2)如图，在正方形ABCD中，由()得点P为BC的中点
6、，|，()11cos 1801.一题多解()，P为BC的中点以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，|，(0，1)，(2,1)，(0，1)(2,1)1.名师点拨向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求
7、其数量积(如本例(2)变式训练1(1)(2021江西名校高三质检)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_10_.(2)在菱形ABCD中，对角线AC4，E为CD的中点，则(C)A8B10C12D14解析(1)因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.(2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线ACBD故用、表示，由题意知()，|2|AC|212，故选C解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则A(2,0)，C(2,0)，不妨设D(0,2a)，则E(1，a)(3，a)，(4,0)(3，a)(4,0)12，故选C考点二向
8、量的模、夹角多维探究角度1向量的模例2 (1)(2021四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60，且a(1，)，|b|3，则|2ab|的值为(C)A13BCD1(2)(2021黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在ABC中，2m2n，2m6n，D为BC的中点，则|_2_.分析(1)求出|a|，再由|2ab|求解；解析(1)a(1，)，|a|2.ab|a|b|cos 603，|2ab|.故选C(2)由题意知mn2cos 3.ABC中，D为BC的中点，()(2m2n2m6n)2m2n.|2m2n|2222.名师点拨平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标(x，y)形
9、式出现的，求向量a的模可直接利用|a|.(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解即“模的问题平方求解”角度2向量的夹角例3 (1)(2021新高考八省联考)已知单位向量a，b满足ab0，若向量cab，则sin(B)ABCD(2)(2020全国理，6)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab(D)ABCD分析(1)利用夹角公式求解解析(1)设a(1,0)，b(0,1)，则c(，)，cos，sin，故选B(2)|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2a
10、b19.又|ab|7，cosa，ab.故选D名师点拨求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cos .(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角(3)a在b方向上的投影等于|a|cos ；b在a方向上的投影等于|b|cos .角度3平面向量的垂直例4 (1)(2020全国，5)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是(D)Aa2bB2abCa2bD2ab(2)(2021安徽宣城调研)已知在ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为(A)ABC6D解析
11、(1)本题考查向量的数量积由题意得ab|a|b|cos 60，b2|b|21.对于A，(a2b)bab2b220，故A错；对于B，(2ab)b2abb21120，故B错；对于C，(a2b)bab2b220，故C错；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b，故选D(2)因为，所以()()22(1)0，因此3242(1)34cos 1200，所以.故选A名师点拨平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件ab0求解变式训练2(1)(角度3)(2020全国，13)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_.(2)(角度1)(2021山西康杰中学五校期
12、中)已知向量a、b满足|b|2|a|2，a与b的夹角为120，则|a2b|(B)ABC13D21(3)(角度2)(2021江西七校联考)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为_.解析(1)本题考查平面向量的数量积运算由题意知|a|b|1，所以ab|a|b|cos 45.因为kab与a垂直，所以(kab)a0，即ka2ab0，即k0，得k.(2)|a|1，|b|2，ab1，|a2b|.故选B(3)由题意可知3，3.m3，|b|6，记a与b的夹角为，则cos ，又0，.名师讲坛素养提升有关数量积的最值(范围)问题例5 (1)(2017全国卷)已知ABC是边长为
13、2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(B)A2BCD1思维导引思路一：思路二：解析解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有2，则()22()()2(22)而22，当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时()取得最小值，最小值为222.解法二：如下图所示，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22(y)2，当x0，y时，()取得最小值，最
14、小值为.名师点拨平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决变式训练3(2020全国新高考，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是(A)A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)解析本题考查平面向量数量积的取值范围如图，以正六边形的中心为坐标原点O，线段FC所在直线为x轴，线段FC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F(2,0)，C(2,0)，A(1，)，B(1，)设P(x，y)，x(2,2)，则(x1，y)(2,0)2x2(2,6)故选A
