1、核心素养测评十八 导数的存在性问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若存在正实数x使ex(x2-a)1成立,则实数a的取值范围是()A.(-1,+)B.(0,+)C.(-2,+)D.-1,+)【解析】选A.存在正实数x使ex(x2-a)x2-在区间(0,+)上有解,令f(x)=x2-,f(x)=2x+0,所以f(x)在区间(0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=-1,又ax2-在区间(0,+)上有解,所以a(-1,+).2.(2019莆田模拟)若函数f(x)=x3-x2+2x没有极小值点,则a的取值范围是()A.B.C.0D.0【解析】选C.f(x)=ax2-2x+2
2、,要使得f(x)没有极小值,则要求f(x)恒大于等于0,或者恒小于等于0,或者该导函数为一次函数,当该导函数为一次函数的时候,a=0,满足条件,当f(x)恒大于等于0的时候,则,解得a,当f(x)恒小于等于0的时候,则,此时a不存在,故a0.3.已知函数f(x)=e2x,g(x)=ln x+,对aR,b(0,+),f(a)=g(b),则b-a的最小值为()A.-1B.1-C.2-1D.1+【解析】选D.设f(a)=g(b)=t,t(0,+),可得a=,b=,令h(t)=b-a=-,t(0,+),则 h(t)=-,令h(t)=0,得t=,由于h(t)=-是增函数,所以t时,h(t)0,因此h(t
3、)在上单调递减,在上单调递增,从而h(t)的最小值为h=1+.4.(2020重庆模拟)若函数f(x)=ex在(0,1)内存在极值点,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,-1 D.-1,0)【解析】选A.函数f(x)=ex,定义域为x|x0,f(x)=ex+xex-=,因为f(x)在(0,1)内存在极值点,则f(x)=0的实数根在(0,1)内,即x3+x2-ax+a=0的实数根在区间(0,1)内,令g(x)=x3+x2-ax+a,可知,函数g(x)=x3+x2-ax+a在(0,1)内存在零点,讨论a:a=0时,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上无零点.a0时,在(0
4、,1)上,g(x)=x3+x2+(1-x)a0,无零点.a0时,g(0)=a0,在(0,1)上有零点.所以实数a的取值范围是a0时,令f(x)=0,得x=ln,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最小值为f=1-ln-2a=1+ln a-2a.令g(a)=1+ln a-2a(a0),则g(a)=-2.当a时,g(a)单调递增;当a时,g(a)单调递减,所以g(a)max=g=-ln 20,所以f(x)的最小值为f0,得x2;F(x)0,得0x2,所以F(x)在1,2上递减,在2,3上递增,F(1)=3,F(2)=3-ln 2,F(3)=-ln 3.作出函数F(x)图像,如图.
5、作直线y=m,平移可知当3-ln 20,所以f(x)在上单调递增,因为a,b,所以f(x)在a,b上单调递增,因为f(x)在a,b上的值域为k(a+2),k(b+2),所以,所以方程f(x)=k(x+2)在上有两解a,b.作出y=f(x)与直线y=k(x+2)的函数图像,则两图像有两交点.若直线y=k(x+2)过点,则k=,若直线y=k(x+2)与y=f(x)的图像相切,设切点为(x0, y0),则,解得k=1.所以10,解得:x2,令f(x)0,解得:x2,所以f(x)在上单调递减,在(2,3上单调递增, 所以f=8.5是函数的最大值, 当x22,3时,g(x)=2x+a为增函数, 所以g(
6、3)=a+8是函数的最大值, 又因为x1,x22,3,使得f(x1)g(x2), 可得f(x)在x1的最大值不小于g(x)在x22,3的最大值, 即8.5a+8,解得:a.答案:a三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020黄冈模拟)已知函数f(x)=ex(a+ln x),其中aR.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-垂直,求a的值.(2)记f(x)的导函数为g(x).当a(0,ln 2)时,证明:g(x)存在极小值点x0,且f(x0)0,所以g(x)与a+-+ln x同号.设h(x)=a+-+ln x,则h(x)=.所以对任意x(0,+),有h(x)0,故h(x)在(0
7、,+)上单调递增.因为a(0,ln 2),所以h(1)=a+10,h=a+ln 0,故存在x0,使得h(x0)=0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下:xx0(x0,1)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在区间上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.所以若a(0,ln 2),存在x0,使得x0是g(x)的极小值点.令h(x0)=0,得到a+ln x0=,所以f(x0)=(a+ln x0)=0,令f(x)=0,得x=,所以当x(0,)时,有f(x)0,则(,+)是函数f(x)的单调递增区间.当x(1,e)时,函数f(x)在(1,)上单调递减,在(,e)上单调递增;又因为f(1)=,f(
8、e)=e2-30,f()=(1-ln 3)0,bR).(1)若存在正数a,使f(x)0恒成立,求实数b的最大值.(2)设a=1,若g(x)=xex-2x-f(x)没有零点,求实数b的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax+ab,所以f(x)=-a=-,所以y=f(x)在上单调递增,在上单调递减.所以f(x)max=f=-ln a-1+ab.所以存在正数a,使ab1+ln a成立,即存在正数a,使得b成立.令h(x)=,x(0,+),因为h(x)=-,所以y=h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.所以h(x)max=h(1)=1,所以b1.故b的最大值为1.(2)
9、因为a=1,所以f(x)=ln x-x+b.所以g(x)=xex-x-ln x-b.所以g(x)=(x+1).令x0(0,1),使得=.两边取自然对数,得x0=-ln x0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增.由题设可知,要使函数g(x) 没有零点,则要g(x)min=g(x0)0即可,g(x0)=x0-x0+x0-b=1-b0,所以b0恒成立,又由g(x)=2e2x-aex-a2=,若a=0,则g(x)=e2x0,g(x)无零点,f(x)无好点.若a0,由g(x)=0,得x=ln a.当x(-,ln a)时,g(x)0,所以g(x)在(-,ln a)上单调递减,在上单调递增.所以当x=ln a时,g(x)取最小值g(ln a)=-a2ln a.当且仅当-a2ln a0,即0a0,所以g(x)无零点,f(x)无好点.若a0,由g(x)=0,得x=ln.当x时,g(x)0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=ln时,g(x)取最小值g=a2.当且仅当a20,即-2a0,所以g(x)无零点,f(x)无好点.综上,a的取值范围为.
