1、A级基础巩固1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则 ()A.a2=2b2 B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b解析:因为椭圆的离心率e=ca=12,所以a2=4c2.又因为a2=b2+c2,所以3a2=4b2.答案:B2.椭圆x216+y212=1的左顶点到右焦点的距离为 ()A.2 B.3C.4 D.6解析:由椭圆方程x216+y212=1,可得a=4,b=23,c=2,椭圆x216+y212=1的左顶点(-4,0)到右焦点(2,0)的距离为2-(-4)=6.答案:D3.已知椭圆C:x2a2+y24=1(a0)的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为 ()
2、A.13 B.12C.22 D.223 解析:由题意,知c=2.因为a2=4+22=8,所以a=22,所以e=ca=222=22.答案:C4.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,P是椭圆上一点,P到F的距离的最大值为5,最小值为3,则该椭圆的方程为 ()A.x216+y215=1 B.x29+y27=1C.x216+y29=1 D.x29+y24=1解析:由题意,得a+c=5,a-c=3,解得a=4,c=1,所以b=15,所以椭圆方程为x216+y215=1.答案:A5.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点B是椭圆C的上顶点,若BF1F2
3、为等边三角形,则椭圆的离心率为12. 解析:因为BF1F2为等边三角形,所以a=2c,所以e=ca=12.6.已知F1,F2分别是椭圆C:x28+y24=1的左、右焦点,在椭圆C上满足PF1PF2的点P的个数为2.解析:由题意,得F1(-2,0),F2(2,0).设P(x,y),则F1P=(x+2,y),F2P=(x-2,y).因为PF1PF2,所以F1PF2P=0,所以(x+2,y)(x-2,y)=x2-4+y2=0,即x2-4+41-x28=0,解得x=0.这时点P为短轴的两顶点,坐标分别为(0,2),(0,-2),故答案为2.7.求经过点M(1,2),且与椭圆x212+y26=1有相同离
4、心率的椭圆的标准方程.解:设所求椭圆方程为x212+y26=k1(k10)或y212+x26=k2(k20),将点M的坐标代入可得112+46=k1或412+16=k2,解得k1=34,k2=12,故x212+y26=34或y212+x26=12,即所求椭圆的标准方程为x29+y292=1或y26+x23=1. 8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M43,13,求椭圆C的离心率.解:由题意,得2a=|MF1|+|MF2|=43+12+132+43-12+132=22.所以a=2.由已知得c=1,所以椭圆C的离心率e=
5、ca=12=22. B级拓展提高9.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆x-c32+y2=b29相切于点Q(其中c为椭圆的半焦距),且PQ=2QF,则椭圆C的离心率等于 ()A.53 B.23C.22 D.12解析:设椭圆的左焦点为F,圆x-c32+y2=b29的圆心为E,连接PF,QE,如图.因为|EF|=|OF|-|OE|=c-c3=2c3,PQ=2QF,所以|EF|FF|=23c2c=13=|QF|PF|,所以FQEFPF,PFQE,所以|QE|PF|=13,且PFPF.又因为|QE|=b3,所以|PF|=b.根据椭圆的定义,知|PF|+
6、|PF|=2a,所以|PF|=2a-b.因为PFPF,所以|PF|2+|PF|2=|FF|2,所以b2+(2a-b)2=(2c)2,所以2(a2-c2)+b2=2ab,所以3b2=2ab,所以b=2a3,c=a2-b2=53a,ca=53,所以椭圆的离心率为53.答案:A10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是12.解析:由AP=2PB,BFx轴,得|AO|=2|FO|(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=12.11.已知P(m,n)是椭圆x2+y22=1上的一个动点,则m2+n
7、2的取值范围是1,2.解析: 因为P(m,n)是椭圆x2+y22=1上的一个动点,所以m2+n22=1,即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2.又因为-1m1,所以12-m22,所以1m2+n22.12.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求椭圆E的离心率e.(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNAB.(1)解:由题意,知M23a,13b,kOM=510,所以b2a=510.所以a=5b,c=a2-b2=2b,故
8、e=ca=255.(2)证明:由N是AC的中点,知Na2,-b2,可得NM=a6,5b6.又因为AB=(-a,b),从而有ABNM=-16a2+56b2=16(5b2-a2),由(1),知a2=5b2,所以ABNM=0,故MNAB. 13.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.(1)解:不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos 60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn
9、4a2-3m+n22=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以c2a214,即e12.又因为0e1,所以e的取值范围是12, 1.(2)证明:由(1)知mn=43b2,所以SF1PF2=12mnsin 60=33b2,即F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关. C级挑战创新14.多选题已知椭圆x2+my2=1的离心率e12,1,则下列选项中,在实数m的取值范围内的是 ()A.0,34 B.43,+C.34,1 D.1,43解析:在椭圆方程x2+my2=1中,当0m1时,a2=1m,b2=1,c2=a2-b2=1m-1,所以e2=c2a2=1m-11m=1-m.又因为12e1,所以1
10、41-m1,解得0m1时,a2=1,b2=1m,c2=1-1m,e2=c2a2=1-1m1=1-1m.又因为12e1,所以141-1m43.综上可知,实数m的取值范围是0,3443,+.答案:AB15.多选题已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点,若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上,则椭圆C的离心率可能为 ()A.3-52 B.5-12C.22 D.10-22解析:如图,椭圆C有C1,C2,C3三种情况.不妨设F(2,0),则b2=a2-4,e2=4a2.对于C1,点(2,2)在椭圆上,则4a2+4a2-4=1,解得a2=625.由题意,知a24,所以a2=6+25,则e2=46+25=3-52,所以e=5-12,故B成立.对于C2,点(0,2)在椭圆上,b=2,a=c2+b2=22,所以e=22,故C成立.对于C3,点(1,1)在椭圆上,1a2+1a2-4=1,解得a2=35.又因为a24,所以a2=3+5,所以e2=43+5=3-5,所以e=10-22,故D成立.答案:BCD16.多空题已知F1,F2是椭圆x24+y23=1的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则该椭圆的离心率是12;ABF2的周长是8. 解析:由题意,得a=2,c=a2-b2=1,所以e=ca=12,ABF2的周长为AB+AF2+BF2=4a=8.
