1、核心素养测评六 指数与指数函数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=的值域是()A.(-2,+)B.(-,-2)(0,+)C.(0,+)D.(-,-2)【解析】选B.令u=2x-1,则u-1,且u0,y=,则y0.2.(2019文昌模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则()A.bacB.acbC.cabD.abca.3.(2019太原模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0【解析】选D.由题干图象知f(x)是减函数,所以0a1,又由图象在y轴上的截距小于1可
2、知a-b0,所以b0.4.(2020北京模拟)若ea+be-b+-a,则有()A.a+b0B.a-b0C.a-b0D.a+b0【解析】选D.令f(x)=ex-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+be-b+-a,所以ea-ae-b-b,即f(a)f(-b),所以a-b,即a+b0.5.(2019十堰模拟)定义在-7,7上的奇函数f(x),当00的解集为 ()A.(2,7B.(-2,0)(2,7C.(-2,0)(2,+)D.-7,-2)(2,7【解析】选B.当0x7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当00等价于f(x)f(2),即2
3、x7,因为f(x)是定义在-7,7上的奇函数,所以-7x0等价于f(x)f(-2),即-2x0的解集为(-2,0)(2,7.二、填空题(每小题5分,共15分)6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=_.【解析】设f(x)=ax(a0且a1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.答案:7.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为_,f(x)的值域为_.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)=1-.因为2x+11,所以02,所以-11-1,所以f(x)的值域为
4、(-1,1). 答案:1(-1,1)8.给出下列结论:当a1,nN*,n为偶数);函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;若2x=16,3y=,则x+y=7.其中正确结论的序号有_.【解析】因为a0,a30,a1)的定义域和值域都是-1,0,求a+b的值.【解析】当a1时,函数f(x)=ax+b在-1,0上为增函数,由题意得无解.当0a1时,函数f(x)=ax+b在-1,0上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2tf(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当x0,所
5、以x=1.(2)当t1,2时,2t+m0,即m(22t-1)-(24t-1),因为22t-10,所以m-(22t+1),因为t1,2,所以-(22t+1)-17,-5,故实数m的取值范围是-5,+).(15分钟35分)1.(5分) (2020淮安模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是()A.cabB.bacC.acbD.ab,所以,即bac.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a0,b0,c0B.a0C.2-a2cD.2a+2c2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.因为abf(c)f(b),结合图
6、象知0f(a)1,a0,b1,所以02a1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a1,所以f(c)1,所以0c1,所以12cf(c),所以1-2a2c-1,所以2a+2c0,且a1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+) D.(-,-2【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.3.(5分)(2020北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=
7、0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为_mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数的值为_.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;所以M(4)=100+24=26.56;由100+2424.001得:(0.1)5;所以lglg(0.1)5;所以tlg-5;所以tlg 2-(1-lg 2)-5;所以t(2lg 2-1)-5,代入lg 20.301得:-0.398t12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.5613【
8、变式备选】已知a-=3(a0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-=3,所以a2+=+2a=9+2=11,而=a2+2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.4.(10分)已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图象.(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点,所以0=a+b,即a+b=0,所以b=-a.函数y=a-a=a.又01,-1-10.且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a0且0a0时,y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x0时,y=
9、-2+2=-2+2为单调减函数.所以y=-2+2在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数.5.(10分)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2上单调递增,在-2,+)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2上单调递减,在-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是-2,+),单调递减区间是(-,-2.(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+)时,a的值为0.
