1、第2讲 圆周运动及其应用 考点1 描述匀速圆周运动的物理量 线速度、角速度、周期、转速、向心力、向心加速度，比较如表所示：定义、意义 描述做圆周运动的物体运动_的物理量(v)是矢量，方向和半径垂直，和圆周_ 线 速 度 角 速 度 描述物体绕圆心_的物理量()中学不研究其方向 公式、单位 单位：_ 单位：_ svtt快慢 相切 转动快慢 2rTm/s rad/s 2T定义、意义 周期是物体沿圆周运动_的时间(T)转速是物体在单位时间内转过的_(n)，也叫频率(f)周期和转速 向心加速度 描述速度_变化快慢的物理量(a)方向指向_ 公式、单位 单位：_ n的单位_、_ 单位：Hz 单位：_ T
2、，1f,Ta ;一周 圈数 方向 圆心 m/s2 2rv2s r/s r/min 2vr2 r定义、意义 作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的_，不改变线速度的_ 方向指向_ 向心力 相互关系 公式、单位 单位：N 22vFm rm r224mrT2222vr_varv_rvFmmr_mv_r2rT2rf224 rT224 f r224 rm T22m 4 f r方向 大小 圆心 1.在传动装置中各物理量的关系 在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：（1）同一转轴的各点角速度 相同，而线速度v=r与半径r成 正比，向心加速度大小a=r 2与半径r成正比.（2）当皮带
3、不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各 点的线速度大小相等,两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关 系可根据 确定.2vvarr、2.用动力学方法解决圆周运动中的问题（1）向心力的来源.向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.（2）向心力的确定.确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.分析物体的受力情况，找出所有的力，沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.（3）解决圆周运动问题的主要步骤.审清题意，确定研究对象；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等
4、；分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；求解、讨论.如图所示为某一皮带传动装置.主动轮的 半径为r1,从动轮的半径为r2.已知主动轮 做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是（）A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 C.从动轮的转速为 D.从动轮的转速为 12r nr21r nr【解析】选B、C.主动轮顺时针转动，皮带交叉，则从动轮逆时 针转动，根据两轮线速度相等，2nr1=2nr2，解得 n=故B、C正确.12r nr，1.匀速圆周运动（1）定义：质点沿圆周运动,如果在相等的时间里通过的_ _相等就是匀速圆周
5、运动.（2）性质：向心加速度大小_，方向总是_的变 加速曲线运动.（3）质点做匀速圆周运动的条件：合力_不变，方向始终 与速度方向_且指向圆心.考点2 匀速圆周运动和非匀速圆周运动 圆弧 长度 不变 指向圆心 大小 垂直 2.非匀速圆周运动（1）定义：线速度大小、方向均_的圆周运动.（2）合力的作用.合力沿速度方向的分量F 产生切向加速度，F=ma，它只改 变速度的_.合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn=man，它只改变 速度的_.发生变化 大小 方向 竖直面内圆周运动问题分析 物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并有“最大”、“最小”、“刚好”
6、等词语，常有两种模型轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：轻绳模型 轻杆模型 均是没有支撑的小球 常见类型 均是有支撑的小球 轻绳模型 轻杆模型 过最高点的临界条件 讨论 分析 由 2vmgmvgrr临得(1)过最高点时，v ,绳、轨道对球产生 弹力FN(2)不能过最高点时 v ,在到达最 高点前小球已经脱 离了圆轨道 gr2NvFmgm,rgr(1)当v=0时，FN=mg，FN为支持 力，沿半径背离圆心(2)当0v 时，-FN+mg=FN背离圆心且随v的增大 而减小(3)当v=时，FN=0(4)当v 时，FN+mg=FN指向圆心并随v的增大而增大 gr2vm,rgrgr2vm,r由 得v临=0
7、2NvmgFm r（2012广州模拟）一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆 形轨道滑行，如图所示，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间 的动摩擦因数为，则它在最低点时受到的摩擦力为（）A.mg B.C.D.2vm(g)R2vm R2vm(g)R【解析】选C.当物体滑至最低点时，由牛顿第二定律 得物体与轨道间的正压力为 又因为 是滑动摩擦力，所以 故选C.2NvFmgm R，2NvFmgm R，2fNvFFm(g)R，1.定义：做_的物体，在所受合力突然消失或不足以 提供圆周运动所需_的情况下，所做的逐渐远离圆心的 运动 2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的_，总有沿着圆 周_飞去的倾向
8、考点3 离心运动和近心运动 圆周运动 向心力 惯性 切线方向 3.受力特点（1）当F=m 2r时，物体做_运动；（2）当F=0时，物体沿_方向飞出；（3）当Fm 2r,物体将逐渐_圆心，做近心运动.靠近 对离心运动的两点提醒 1.物体做离心运动并非物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现 2.物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出 下列关于离心现象的说法正确的是（）A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动 C.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将沿切线做直线
9、运动 D.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动【解析】选C.离心力是一种效果力，实际并不存在，A错；做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，由于惯性，它将沿切线方向飞出，做匀速直线运动，B、D错，C正确.水平面内的匀速圆周运动【例证1】（2012舟山模拟）随着 经济的持续发展，人民生活水平的 不断提高，近年来我国私家车数量 快速增长，高级和一级公路的建设 也正加速进行，为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面.如果某品牌 汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分的半径为r，汽车轮胎与 路面的动摩擦因数为，路面设计的倾
10、角为，如图所示.（重力加速度g取10 m/s2）（1）为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？（2）若取 r=60 m，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数 为=0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？【解题指南】解答本题可按以下思路进行：（1）对汽车进行受力分析，确定汽车受到哪几个力作用.（2）根据平衡条件和圆周运动所需向心力，利用正交分解列方 程求解.1sin20，【自主解答】（1）汽车受力分析如图所示，竖直方向：FNcos=mg+Ffsin 水平方向：FNsin+Ffcos=又Ff=FN 联立可得 2vm r(sincos)grv.cossin （2）代入数据可得：v=14.6 m
11、/s.答案：（1）（2）14.6 m/s (sincos)grcossin 【总结提升】水平面内的匀速圆周运动的分析方法 1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等 2.这类问题的特点是：（1）运动轨迹是圆且在水平面内；（2）向心力的方向水平，竖直方向的合力为零.3.解答此类问题的方法（1）对研究对象受力分析，确定向心力的来源；（2）确定圆周运动的圆心和半径；（3）应用相关力学规律列方程求解.竖直平面内圆周运动的求解 【例证2】（2012潍坊模拟）（14分）长L=0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在 竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个 小球A.A的质量为m=2
12、 kg，当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：（1）A在最低点的速率为（2）A在最低点的速率为6 m/s.21 m/s；【解题指南】解答本题需把握以下两点：（1）明确本题属于轻杆模型，对小球进行受力分析；（2）明确小球向心力的来源，结合牛顿第二定律列方程求解.【规范解答】设小球在最高点的速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面，由机械能守恒定律得，（2分）在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示.22011mvmg 2Lmv22以A为研究对象，由牛顿第二定律得 （2分）所以 （2分）（1）当 m/s时，由式得v=1 m/s，（1
13、分）（1分）负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上 16 N的支持力.（1分）2vmgFm L2vFm(g)L0v2121F2(10)N16 N0.5，（2）当v0=6 m/s时，由式得v=4 m/s；（2分）（2分）正值说明杆对A施加的是向下44N的拉力.（1分）答案：（1）16N 方向向上 （2）44 N 方向向下 24F2(10)N44 N.0.5【总结提升】竖直平面内的圆周运动的求解思路 1.定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最 高点的临界条件不同，其原因主要是：“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体 2.确定临界点：对轻绳模型来说是能否通
14、过最高点的临 界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点 3.研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点 和最低点的运动情况 vgr临，4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向 5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程 向心力来源的确定 【例证3】如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球.给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为.下列说法中正确的是（）A.小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B.小球做圆周运动的半
15、径为L C.越大，小球运动的速度越大 D.越大，小球运动的周期越大【解题指南】解答本题应注意以下三点：（1）对小球正确受力分析；（2）确定圆周运动的平面和向心力的来源；（3）根据牛顿第二定律和圆周运动的相关公式求解.【自主解答】选C.小球只受重力和绳的拉力作用，合力大小为 F=mgtan，半径为R=Lsin，A、B均错；小球做圆周运动的向 心力是由重力和绳的拉力的合力提供的，则 得到 越大，小球运动的速度越大，C对；周期 越大，小球运动的周期越小，D错.2vmgtanm Lsin，gLvsincos，2 RLcosT2vg，【总结提升】关于向心力来源的确定，关键是对物体进行正确的受力分析，确定
16、沿半径方向的合外力.在解答本题时易犯错误具体分析如下：易错角度 错 误 原 因 A项 对向心力认识不清，小球在水平面内做匀速圆周运动需要向心力，物体做圆周运动时，沿半径指向圆心方向的力称为向心力，是由合外力提供或充当.小球只受到重力和绳的拉力作用，重力和绳的拉力的合外力提供小球做圆周运动所需要的向心力.易错角度 错 误 原 因 D项 对描述圆周运动的参量内在联系不清楚，认为越大，小球运动半径越大，误认为小球的线速度不变，得出小球运动的周期越大的错误结论.【例证】如图所示，细绳一端系着质量m1=0.6 kg的物体A静止在水平面上，另一端通过光滑小孔O吊着质量m2=0.3 kg的物体B.A与小孔O
17、的距离为0.2 m，且与水平面的最大静摩擦力为2 N，为使B保持静止状态，A做匀速圆周运动的角速度 应在什么范围？（g取10 m/s2）考查内容 圆周运动的临界问题 【规范解答】B保持静止状态时，A做匀速圆周运动的半径r不 变，根据F=m1r2可知，向心力发生变化时角速度将随之改变，A的向心力由细绳拉力和静摩擦力提供.当最小时，A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相反，则 有m2g-Ff=m1r 2.89 rad/s 21,2f11m gF0.3 102 rad/sm r0.6 0.2 当最大时，A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相同，则 有 所以，A做匀速圆周运动的角速度范围是 2.8
18、9 rad/s6.45 rad/s 答案：2.89 rad/s6.45 rad/s 22f12m gFm r，2f21m gF0.3 102 rad/s6.45 rad/sm r0.6 0.2 圆周运动的“等效最高点”与“等效最低点”物体仅在重力场中的圆周运动是最简单，也是最为熟悉的运动类型，但是物体在复合场中的圆周运动又是我们在综合性试题中经常遇到的问题，如果我们能化“复合场”为“等效重力场”，找出圆周运动的“等效最高点”与“等效最低点”，就可以化繁为简，化难为易.1.模型特征 物体在竖直平面内做圆周运动，除受重力外，还受其他恒 力作用，即在复合场中运动.2.圆周运动的“等效最高点”与“等效
19、最低点”问题的应 考策略 （1）解题步骤.分析问题是否属于圆周运动的“等效最高点”与“等效 最低点”问题；类比得出此时的等效重力加速度 和临界位置、临 界条件.Fgm （2）注意问题.注意g与g的区别：对于竖直平面内的圆周运动模型，则要从受力情形出发，分清“地理最高点”和“物理最高点”，弄清有几个场力；竖直平面内若做匀速圆周运动，则必须根据做匀速圆周运动的条件，找出隐含条件；注意线和导轨类问题的约束条件的不同.【典题例证】如图所示，两个水平放置的带电平行金属板的匀强电场中，一长为l的绝缘细线一端固定在O点，另一端拴着一个质量为m、带有一定电量的小球，小球原来静止，当给小球某一速度后，它可绕O点
20、在竖直平面内做匀速圆周运动，若两板间电压增大为原来的4倍，求：（1）要使小球从C点开始在竖直平面内做圆周运动，开始至少要给小球多大的速度？（2）在运动过程中细线所受的最大拉力.【命题探究】本题设计较为巧妙，属于典型的竖直平面内的等效重力问题.【深度剖析】本题的物理情景不难想象：一条细线系带电小球 在两板间原来的电场中做匀速圆周运动.后来两板间电压升高为 原来的4倍，小球仍在竖直面内做圆周运动.这两种情况下相应 的物理条件是不同的，必须注意正确地把它们转化为具体的物 理条件.（1）设原来两极板间电压为U，间距为d，小球电量为q，因小 球开始能在电场中做匀速圆周运动，故小球所受电场力向上，并且和重
21、力相等，所以小球带正电，且满足 Uqmgd 当两板间电压增到4U时，设需在C点给小球的速度为v才能使其 在竖直平面内做圆周运动，分析知C点就是小球做圆周运动的等 效最高点（即临界点），在等效最高点处小球的线速度最小，小球所受新的电场力与重力的合力恰好满足在该处做圆周运动 的向心力，此时细线对小球的拉力为零（这是等效最高点的特 点），即：得到 24Uvqmgmd lv3gl（2）小球在最高点D时就是小球做圆周运动的等效最低点，小 球在等效最低点处的线速度最大，所以细线l所受拉力最大，设 最大拉力为FT，由牛顿第二定律有：小球从C点运动到D点过程中，重力和电场力做功，根据动能定 理，有：由式得小球
22、在等效最低点处的线速度 将式代入式，得FT=18mg 2DTv4UFmgqmdl22D4U11q2mg 2mvmvd22llDv15gl1.匀速圆周运动属于（）A.匀速运动 B.匀加速运动 C.加速度不变的曲线运动 D.加速度变化的曲线运动【解析】选D.线速度是矢量，在匀速圆周运动中，线速度大小不变，但方向不断变化，所以匀速圆周运动是一个变速曲线运动或者称为速率一定的曲线运动，由于其加速度为向心加速度，方向始终指向圆心，因此加速度方向也不断发生变化，所以选项D正确.2.如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍.A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上
23、一条半径的中点.则（）A.两轮转动的角速度相等 B.大轮转动的角速度是小轮的2倍 C.质点加速度aA=2aB D.质点加速度aB=4aC【解析】选D.两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，vA=vB，而rA=2rB，故A=B，A、B错误；由 得 C错误；由an=2r得 则 D正确.122nvarABBAar1ar2，AACCar2ar，BCa4a，3.（2012桂林模拟）火车轨道在转弯处外轨高于内轨,此高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为v,则下列说法中正确的是（）A.当以v的速度通过此弯路时,火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力 B.当以v的速度通过此弯路时,火车重力、
24、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 C.当速度大于v时,轮缘挤压外轨 D.当速度小于v时,轮缘挤压外轨【解析】选A、C.规定火车在某转弯处的行驶速度为v,火车以速度v通过此弯路时,火车所受合外力恰好等于所需向心力,因此向心力由火车重力与轨道面支持力的合力提供,选项A正确，B错误;当速度大于v时,火车有离心运动趋势,挤压外轨,当速度小于v时,火车有近心运动趋势,挤压内轨,选项C正确，D错误.4.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质 量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管 壁的压力为 mg.求:（1）小球从管口飞出时的速率；（2）小球落地点到P点的水平距离.12【解析】（1）分两种情况:当小球对管内壁有压力时,则有 当小球对管外壁有压力时,则有（2）小球从管口飞出做平抛运动,竖直方向:水平方向:答案：（1）或 （2）或 211v1gRmgmgm,v.2R2222v13gRmgmgm,v2R221R2Rgt,t2,2g1122xv t2R,xv t6RgR23gR22R6R