1、3.2.3空间向量与空间角目标 1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题.2.了解向量方法在研究几何问题中的作用重点 用向量的方法求解空间角难点 直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角的关系知识点一异面直线所成的角填一填设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos|cosa，b|.答一答1两直线夹角的公式为什么不是cos？提示：由于两直线夹角的范围为0，两向量夹角的范围为0，因此，两直线夹角的公式为cos|，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角知识点二直线与平面所成的角填一填设直线l与平面所成的角为，直线l的方向向量为a，平面的法向
2、量为n.则sin|cosa，n|.答一答2设平面的斜线l的方向向量为a，平面的法向量为n，l与所成的角的公式为什么不是cos？提示：(1)当a，n与，l的关系如下图所示时，l与所成的角与a，n所成的角互余即sincosa，n(2)当a，n与，l的关系如下图所示时，l与所成的角与两向量所成的角的补角互余此时，sin|cosa，n|.总之，若设直线与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量所成的角为，则有sin|cos|.若直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin.知识点三二面角填一填1设二面角l的平面角为，平面、的法向量分别为n1，n2，则|cos|cosn1，n2|.2二面角的平面角
3、也可转化为两直线的方向向量的夹角在两个半平面内，各取一直线与棱垂直，当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向向量的夹角即为二面角的平面角答一答3两平面法向量的夹角就是两平面的夹角吗？提示：不一定两平面法向量的夹角可能等于两平面的夹角(当0n1，n2时)，也有可能与两平面的夹角互为补角(当n1，n2时)其中n1，n2是两平面的法向量1求两异面直线所成的角时，要注意其范围是(0，2求线面角的大小时，要注意所求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值才是线面角的正弦值3求二面角的大小要特别注意需根据具体的图形来判断该二面角是锐角还是钝角另外注意 利用向量法求二面角有以下两种方法(1)若AB、C
4、D分别是两个平面、内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角如图. (2)法向量法，如图，n1，n2分别是平面与的法向量二面角为n1，n2或n1，n2类型一求异面直线所成的角【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PDA30，AEPD，E为垂足(1)求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值【分析】要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得【解】以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为
5、坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)又PDA30，APADtan302aa，AEADsin302aa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，AEa，EAF60，AF，EFa.P，E.(1)证明：，0a2a20.，BEPD.(2)，(a，a,0)则cos，则AE与CD的夹角的余弦值为.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PAD60，在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值解：(1)如图建立空间直角坐标系，A
6、DCDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)在RtPAD中，由AD2，PAD60得PD2，P(0,0,2)(2)由(1)得(2,0，2)，(2，3,0)，cos，.故异面直线PA与BC夹角的余弦值为.类型二求直线与平面所成的角【例2】如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中， ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值【解】(1)证明：易知AB，AD，AA1两两垂直如下图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，
7、则有A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则，即.令x1，可得平面ACD1的一个法向量为n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin|cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.求线面角的两种思路思路一：找直线在平
8、面内的射影，充分利用线与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)如图所示，PO，则，思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN的夹角解：设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)证明：，因为00，所以CMSN.(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则
9、a0，a0，即令x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，所以SN与平面CMN的夹角为45.类型三求二面角【例3】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.求二面角DA1CE的正弦值【解】由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设AC2，则C(0,0,0)，D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则，即，取x11，可得平面A1CD的一个法向量为n(1，1，1)同理可得，平面A1CE的一个法向量为m
10、(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.二面角的求法有两种：(1)几何法：先作出二面角的平面角，再求，即：作证求，这是立体几何中的一大难点.(2)向量法：先求出平面、的法向量n1，n2，设二面角l为，则|cos|cosn1，n2|，再根据图形判断为锐角还是钝角，从而求出.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E、F分别是AD、PC的中点(1)证明：PC平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标
11、系，APAB2，BC2，四边形ABCD是矩形，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E、F分别是AD、PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，又BFEFF，则PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos|cosn1，n2|.45，即平面BEF与平面BAP的夹角为45.类型四素养提升混淆向量夹角与二面角的关系致误用向量的坐标运算求二面角时，求出两平面的法向量的
12、夹角后，应注意法向量的方向与二面角的关系，若不注意判断，易出现错误【例4】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小【错解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接DA1，DC1.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)是平面ABD1的一个法向量，(1,0,1)，是平面BCD1的一个法向量，(0,1,1)，所以cos，.所以，60.所以二面角ABD1C的大小为60.【错因分析】用法向量求二面角的大小时，要注意n1，n2与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的【正解】以D为原点，建立如答图所示的空间直角坐标系，连接DA1，D
13、C1.设正方体的棱长为1，则(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，所以cos，.所以，60.所以二面角ABD1C的大小为120.如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，已知AEDE2，F为线段DE的中点(1)求证：BE平面ACF；(2)求二面角CBFE的平面角的余弦值解：(1)证明：如图，连接BD和AC交于点O，连接OF，ABCD为正方形，O为BD中点F为DE中点，OFBE.BE平面ACF，OF平面ACF，BE平面ACF.(2)AE平面CDE，CD平面CDE，AECD.ABCD为正方形，CDAD.AEADA，AD，AE平面
14、DAE，CD平面DAE.DE平面DAE，CDDE.以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，则E(2,0,0)，F(1,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,0)，AE平面CDE，DE平面CDE，AEDE.AEDE2，AD2.ABCD为正方形，CD2.C(0,2，0)由ABCD为正方形可得(2,2，2)B点的坐标为(2,2，2)设平面BEF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则(0，2，2)，(1,0,0)，由令y11，则z1，n1(0,1，)设平面BCF的法向量为n2(x2，y2，z2)，则(2,0，2)，(1，2，0)，由令y21，则x22，z22，n2(2，1，2)设二面角CBFE
15、的平面角的大小为，则coscos(n1，n2)cosn1，n2.二面角CBFE的平面角的余弦值为.1如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为(A)A. B.C. D.解析：设CB1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)A. B.C. D.解析：建系如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(1,1，)，(
16、1,0,1)，(1,1，)设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，即令x1，得y，z1.n(1，1)又平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，cosn，.平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.3在正四棱锥PABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成的角为.解析：建系如下图所示，则B(1,1,0)，D(1，1,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，(2,2,0)，(0,1，1)cos，.，.PE与DB所成的角为.4如下图所示，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.(1)求证：A
17、M平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小解：四边形ACDE是正方形，EAAC，AMEC.平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1)(1)证明：(0,1,1)，(0,2，2)，(2,0,0)，0，0.AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC.(2)由(1)知AM平面EBC，为平面EBC的一个法向量(0,1,1)，(2,2,0)，cos，.，60.直线AB与平面EBC所成的角为30.
