1、21曲线与方程2.1.1曲线与方程21.2求曲线的方程内容标准学科素养1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程2.理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系.应用数学抽象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第20页基础认识知识点一曲线的方程与方程的曲线前面我们学习了直线与圆及其方程，并且体会到用方程研究曲线的几何性质非常简便，也就是用代数方法研究曲线(包括直线)的几何性质，那么曲线与方程有什么关系呢？(1)在直角坐标系中，第一、三象限角平分线l与方程xy0有什么关系？提示：设M(x0，y0)是第一、三象限角平分线上的任意一点，它到两坐标轴的距离相等，即x0y0，那么点(x0，y
2、0)是方程xy0的解反过来，如果M(x0，y0)是方程xy0的解，即x0y0，那么点M到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线l上(2)以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(xa)2(yb)2r2有什么关系？提示：设点M(x0，y0)是圆(xa)2(yb)2r2上任一点，那么它到圆心(a，b)的距离等于半径r. 即r即(xa)2(yb)2r2，这说明点M(x0，y0)是方程(xa)2(yb)2r2的解；反之，如果(x0，y0)是方程(xa)2(yb)2r2的解，则(x0，y0)到(a，b)的距离等于半径，它一定在圆上知识梳理曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在直角坐标系中，如果曲线C(看作点
3、的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线知识点二求曲线方程的步骤知识梳理求曲线方程的一般步骤求曲线的方程，一般有如下步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式自我检测1方程y|x|所表示的曲线为()A一条直线B两条直线C一条射线 D
4、两条射线答案：D2到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为()A|x|y|3 B|y|x|3C|x|y|3 Dxy3答案：C3如果曲线C的方程x21，点M(a，b)，那么点M在曲线C上的充要条件是_答案：a21授课提示：对应学生用书第21页探究一对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解阅读教材P35例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.题型：曲线的方程与方程的曲线的判断方法步骤：(1)证明轨迹上任一点M(x0，y0)都是方程xyk的解(2)再证明以方程xyk的解为坐标的点到两坐标轴的距离之积为k.例1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴
5、的直线的方程为x3；(2)ABC的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x0.解析(1)正确满足曲线方程的定义，故结论正确(2)错误因为中线AD是一条线段，而不是直线，所以其方程应为x0(3y0)，故结论错误方法技巧判断曲线与方程的关系，严格按定义，两个条件缺一不可(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪探究1.分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴
6、的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解析：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x
7、y0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.探究二曲线与方程的应用教材P37习题2.1A组1题点A(1，2)，B(2，3)，C(3,10)是否在方程x2xy2y10上表示的曲线上？为什么？解析：A(1，2)在曲线上，因为121(2)2(2)10，所以点A在曲线上B(2，3)不在曲线上因为222(3)2(3)150，所以点B不在曲线上C(3,10)在曲线上因为3231021010，所以点C在曲线上例2已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M
8、在上述方程表示的曲线上，求m的值解析(1)12(21)210，()2(31)2610，点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210，解得m2或m.方法技巧判断某个点是否是曲线上的点，就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解，若适合方程，就说明这个点在该曲线上；若不适合，就说明点不在该曲线上延伸探究本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围解析：结合点与圆的位置关系，得a2(21)210，即a29，解得a3，故所求实数a的取值范围为(，3)(3，)跟踪探
9、究2.已知方程x24x1y.(1)判断点P(1，4)，Q(3,2)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线y2x7的交点的坐标解析：(1)因为(1)24(1)14，(3)24(3)12，所以点P坐标适合方程，点Q坐标不适合方程，即点P在曲线上，点Q不在曲线上(2)因为点M在此方程表示的曲线上，所以241m1，即m24m0，解得m0或m4.(3)联立消去y，得x24x12x7，即x22x80，解得x12，x24，于是y111，y21，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(4，1)探究三求曲线的方程阅读教材P35例2设A、B两点的坐标分
10、别是(1，1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程题型：求曲线的方程方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设出所求轨迹上任一点M(x，y)(2)确定M的几何性质：|MA|MB|.(3)将M的几何性质坐标化得出方程，并检验方程的解都在AB的垂直平分线上例3(1)一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍求动点P的轨迹方程解析设P(x，y)，则|8x|2|PA|，则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点P的轨迹方程为3x24y248.(2)动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程解析设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB
11、的中点，所以即又因为M在曲线x2y21上，所以xy1，所以(2x3)24y21.所以点P的轨迹方程为(2x3)24y21.方法技巧1.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系2求曲线方程的常用方法：直接法与代入法(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少(2)代入法求轨迹方程就是利用所求动
12、点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程跟踪探究3.已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线中点M的轨迹方程是()Ay2x2By8x2C2y8x21 D2y8x21解析：设M(x，y)，则P(2x,2y1)P在曲线2x2y0上，2(2x)2(2y1)0，即8x22y10，即2y8x21，故选C.答案：C4已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程
13、解析：设动点M的坐标为(x，y)，且点M到x轴的距离为d，则d|y|.由距离公式得|y|，整理得x28y160，即yx22.故所求点M的轨迹方程是yx22.授课提示：对应学生用书第22页课后小结(1)曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集M|p(M)和方程f(x，y)0的解集(x，y)|f(x，y)0之间的一一对应关系由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质(2)求曲线方程的一般步骤为：建系设点，写集合(找条件)，列方程，化简，证明(查缺补漏)(3)求曲线的方程与求轨迹是有区别的若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处
14、等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等素养培优1忽略隐含条件而导致的错误方程(xy1)0所表示的曲线的轨迹是()易错分析由方程(xy1)0，得xy10或x2y24，其中xy10受条件x2y24的限制，这一点很容易忽略，导致选出错误的选项A.考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正原方程等价于或x2y24.其中当xy10时，需有意义，等式才成立，即x2y24，此时它表示直线xy10上不在圆x2y24内的部分；当x2y24时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.答案：D2求动点轨迹方程时，对动点满足的条件考虑不全致误在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，c，b成等差数列，acb，|AB|2，试求顶点C的轨迹方程易错分析求解本题容易出错的原因：一是忽视限制条件ab，二是忽视隐含条件A，B，C三点不共线，而产生不合题意的点考查逻辑推理、数学运算的学科素养自我纠正以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系(如图)，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)因为a，c，b成等差数列，所以ab2c，即|AC|BC|2|AB|，故4，化简整理得，3x24y212.由于ab，即，解得x0.又点C不能在x轴上，所以x2，所以所求的轨迹方程为3x24y212(x0且x2)
