1、核心素养测评三十七 数列（含函数特性）(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列an的通项公式an=2n-4,nN*,若它的第k项满足2ak5,则k=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.数列an的第k项满足2ak5,即22k-45,解得3k4.5.因为kN*,所以k=4.2.在数列中,已知a4=3,a9=5,且an-1+an+an+1=9(nN*,n2),则a2 020的值是()A.1B.3C.5D.9【解析】选B.因为an-1+an+an+1=9(nN*,n2),所以an+an+1+an+2=9,所以an+2=an-1,所以周期为3,所以a2 020=a4=3.3
2、.函数f(x)由下表定义:x25314f(x)12345若a0=5,an+1=f(an)(nN),则a2 021的值为()A.1B.2C.4D.5【解析】选B.因为a0=5,an+1=f(an),所以a1=f(a0)=f(5)=2,a2=f(a1)=f(2)=1,a3=f(a2)=f(1)=4,a4=f(a3)=f(4)=5,a5=f(a4)=f(5)=2,所以a1=a5.所以an是以4为周期的周期数列.所以a2 021=a1=2.4.已知数列an的通项公式为an=(nN*).则下列说法正确的是 ()A.这个数列的第10项为B.是该数列中的项C.数列中的各项都在区间内D.数列an是单调递减数列
3、【解析】选C.an=.令n=10,得a10=,故选项A不正确;令=,得9n=300,此方程无正整数解,故不是该数列中的项,故选项B不正确;因为an=1-,又nN*,所以数列an是单调递增数列,所以an0,所以an+1an,所以数列an是单调递增数列.答案:递增数列(15分钟35分)1.(5分)定义:称为n个正数P1,P2,Pn的“均倒数”.若数列an的前n项的“均倒数”为,则数列an的通项公式为()A.an=2n-1B.an=4n-1C.an=4n-3D.an=4n-5【解析】选C.因为=,所以=2n-1,所以a1+a2+a3+an=(2n-1)n,a1+a2+an-1=(2n-3)(n-1)
4、(n2),当n2时,an=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3;a1=1也适合此等式,所以an=4n-3.【变式备选】已知nN*,给出4个表达式:an=an=,an=,an=.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是 ()A.B.C.D.【解析】选A.检验知都是所给数列的通项公式.2.(5分)(2020西安模拟)对于数列an,称P(ak)=(其中k2,kN)为数列an的前k项“波动均值”.若对任意的k2,kN,都有P(ak+1)P(ak),则称数列an为“趋稳数列”.若数列1,x,2为“趋稳数列”,则实数x的取值范围为()A.B.C.D. 【解析】选A.因为数列
5、1,x,2,所以P(a2)=|a1-a2|=|1-x|,P(a3)=,因为数列1,x,2为“趋稳数列”,所以PP,即,所以x的取值范围为.3.(5分)已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,Sn为数列an的前n项和,则S2 023=_.【解析】因为an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,所以a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,所以an+6=an(nN*).则S2 023=S3376+1=337(a1+a2+a6)+a1=3370+m=m.答案:m【变式备选】已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n
6、2,nN*),a1=,则通项公式为_.【解析】因为当n2,nN*时,an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,-=2,所以是公差为2的等差数列.因为S1=a1=,所以=2,所以=2+(n-1)2=2n,即Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-=.当n=1时,a1=,不满足上式,所以数列an的通项公式为an=答案:an=4.(10分)若a1=1,an+1=,求数列an的通项公式.【解析】因为an+1=,a1=1,所以an0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列,所以=+(n-1)=+.所以an=(nN*).5.(10分)已知数列an中,
7、an=1+(nN*,aR且a0).(1)若a=-7,求数列an中的最大项和最小项的值.(2)若对任意的nN*,都有ana6成立,求a的取值范围.【解析】(1)因为an=1+(nN*,aR且a0),又a=-7,所以an=1+(nN*).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*).所以数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+=1+,已知对任意的nN*,都有ana6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知56,即-10a0),求导得f(x)=-+1.令f(x)0,解得x;令f(x)0,解得0x.所以f(x)=+x-1在(,+)上是递增的,在(0,)上是递减的.因为nN*,所以当n=5或n=6时,f(n)取得最小值.又因为=,=,所以的最小值为.答案:
