1、专题层级快练(七十一)1(2019绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.B6C8 D12答案B解析由题意得F(1，0)，设P(x，y)，则(x，y)(x1，y)x2xy2，又点P在椭圆上，故1，所以x2x3x2x2x3(x2)22，又2x2，所以当x2时，(x2)22取得最大值6，即的最大值为6.2(2019四川成都七中模拟)若直线l过抛物线C：y24x的焦点F交抛物线C于A，B两点，则的取值范围为()A1 B(0，1C1，) D，1答案A解析由题意知抛物线C：y24x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x1.设过点F的直线l的斜率k存
2、在，则直线的方程为yk(x1)代入抛物线方程，得k2(x1)24x，化简得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21.根据抛物线性质可知，|AF|x11，|BF|x21，1.当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x1，把x1代入y24x得y2，1.故选A.3(2019南昌NCS项目调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围答案(1)y21(2)0，)解析(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，b1，a2，椭圆C的
3、标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2.原点O到直线l的距离d，d21，又k2，0d20)的左焦点，直线yx被椭圆C截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)
4、圆P：(x)2(y)2r2(r0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|QF|的取值范围答案(1)1(2)(，解析(1)由得x2y2，故22，解得m1，故椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又所以0，则(x1x2)(y1y2)0，故kAB1.所以直线AB的方程为yx，即yx，代入椭圆C的方程并整理得7x28x0，则x10，x2.又F(1，0)，直线FM的斜率大于1，则直线FM的斜率k，)设FM：yk(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120，设P(x3，y3)，Q(x
5、4，y4)，则有x3x4，x3x4.又|PF|x31|，|QF|x41|，所以|PF|QF|(1k2)|x3x4(x3x4)1|(1k2)|1|(1k2)(1)因为k，所以0)上(1)求抛物线C的方程；(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|l1，|DB|l2，求的最大值答案(1)x24y(2)2解析(1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(4，12)，代入抛物线方程可得(4)22p12，解得p2.抛物线方程为x24y.(2)设M(a，b)，则a24b.半径R|MD|，可得M的方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2.令y0，可得x22a
6、x4b40，x22axa240，解得xa2.不妨设A(a2，0)，B(a2，0)l1，l2，22，(*)当a0时，由(*)得，222.当且仅当a2，即a2时取等号当a0时，2.综上可知，的最大值为2.7(2019长春质量检测三)在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x1)2y29，圆C2的方程为(x1)2y21，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知P(2，0)与Q(2，0)为平面内的两个定点，过(1，0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值答案(1)1(x2)(2)6解析(1)设动圆C的半径为r，由题意知|CC1|3r，|CC2|1r，从而有|CC1|CC2|4，故轨迹E是以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2，0)，从而轨迹E的方程为1(x2)(2)设l的方程为xmy1，联立消去x得(3m24)y26my90，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1y2，y1y2，则|AB|，点P(2，0)到直线l的距离为，点Q(2，0)到直线l的距离为，从而四边形APBQ的面积S，令t，t1，有S，函数y3t在1，)上单调递增，3t4.故S6，即四边形APBQ面积的最大值为6.
