1、浙江省超级全能生2020届高三数学下学期3月联考试题（B卷）（含解析）一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算，再计算.【详解】因为，所以，则. 故选：C.【点睛】本题考查集合的并集及补集运算，比较简单，紧扣并集、补集的概念进行运算即可.2. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则求得，即可求得其虚部.【详解】因为，故可得，故其虚部为.故选：.【点睛】本题考查复数的运算，
2、以及虚部的辨识，属基础题.3. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，已知，则“，”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用面面平行的判定和性质定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【详解】充分性：已知，由于，若，则与不一定平行，充分性不成立；必要性：已知，若，由面面平行的性质可得，必要性成立.因此，“，”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了面面平行的判定与性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题.4. 函数的图象是（ ）A B. C. D. 【答
3、案】A【解析】【分析】利用特殊点的函数值，由排除法得解【详解】解：，故排除；，故排除；，故排除；故选：【点睛】本题考查函数图象的确定，属于基础题5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为以底面半径为1，高为的圆柱的一半，所以故选：点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题6. 小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择
4、（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】【分析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.由隔板法可知，不同的选购方法有种.故选：B.【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7. 在数列中，且
5、，为数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对关系式中的n分奇偶进行讨论，然后利用求和公式计算即可.【详解】由题意，当n为偶数时，可得；当n为奇数时，可得，即数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1，由求和公式可得，故选：C【点睛】本题考查了数列递推关系，等比数列的通项公式和求和公式，考查推理能力和计算能力，属于中档题.8. 已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，则，所以，设双曲线的左焦点为，设点在第一象限内，连接, 由，根据双曲线的对称
6、性可得四边形为矩形，所以，所以，设，代入椭圆方程，得到关于的方程，解出即可.【详解】设直线的倾斜角为，则，所以.设双曲线的左焦点为，设点在第一象限内，连接, 由根据双曲线对称性可得四边形为矩形，所以，所以则设，代入双曲线方程可得：即，所以所以，可得由，可得所以，所以，即故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.9. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点(包括四条边上的点)，且满足，则四棱锥的体积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意画出图象，根据，求出，设，则，由，得，即，求出的解析
7、式，可得的最大值，再由棱锥体积公式求解【详解】解：作于，在长方体中，平面，平面，在和中，设，则，由，得，即，整理得，开口向下，对称轴为，在，单调递减，则时，取到最大值，即的最大值为四棱锥的体积的最大值是故选：【点睛】考查棱柱、棱锥的体积的计算，利用了构造函数法及单调性和最值，属于中档题10. 已知实数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，代入所给等式同时平方后的式子，化简等式为关于y的一元二次方程，根据方程有解则判别式不小于零列出不等式求解m的最小值即可.【详解】设，则，则，设，则，解得，最小值为.故选：B【点睛】本题考查条件等式求最值，属于中档题.二填
8、空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11. 椭圆的焦距是_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆中，的数量关系求解【详解】解：椭圆的焦距是故答案为：【点睛】本题考查了椭圆中，的数量关系，属于基础题12. 在二项式的展开式中，常数项是_；有理项的个数为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得常数项；再由的指数为整数求得有理数的项的个数【详解】解：二项式的展开式的通项为由，得常数项是；当，3,5，7，9时，的指数为整数，有理项的个数是5个；故答案为：；5【点睛】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记
9、二项展开式的通项，属于基础题13. 在锐角中，角，所对的边分别是，则_，_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】先利用余弦定理解出，再利用正弦定理解出和，从而得到答案.【详解】由得：或，因为锐角，所以；由可得：，.故答案为：2，.【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，较易.当利用余弦定理解某一边出现两解时，一定要根据题目条件合理取舍.14. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为_，最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴截距最大和最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组所表示的
10、可行域如下图所示：联立，解得，即点；联立，解得，即点.令，则，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故答案为：；.【点睛】本题考查指数型线性目标函数最值的求解，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.15. 十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，记其前项和为，设(为常数)，则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】因为斐波那契数列满足，通过归纳可以得出，,代入即可求解【详解】因为斐波那
11、契数列满足， ， ； ； 所以， 因为 故答案为：，【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于中档题16. 已知函数，对一切，都有，则当时，的最大值为_.【答案】【解析】【分析】推导出，利用绝对值三角不等式求得函数在、和上的最大值，结合已知条件可得出结果.【详解】，所以，又对任意的，都有，所以，当时，；当时，.综上所述，当时，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，推导出是解题的关键，考查绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于难题.17. 已知点为所在平面内任意一点，满足，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知条件变形得到，通过等
12、价变形把表示为的函数，根据的范围即可求出的取值范围.【详解】解：，所以.因为，,所以，则的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查向量的化简变形及函数的值域计算，关键在于向量等式的等价变形，属于中档题.三解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.18. 已知函数.（1）求（2）若，当时，存在最大值和最小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简，再代值求解即可；（2）根据题意，列出关于的不等式，即可求得其范围.【详解】（1）.故.（2）由（1）所得，可知若满足题意，则，且，解得，且，即.【点睛】本题考查利
13、用三角恒等变换化简函数解析式，以及由函数的最值求参数的范围，属综合基础题.19. 已知数列满足，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求证.【答案】（1），；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）数列满足，可得，利用等差数列的通项公式即可得出数列满足，可得，相减可得，即可得出（2），可得利用裂项相消求和方法即可得出【详解】解：（1）数列满足，数列是等差数列，可得：数列满足，（2）证明：，即：【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20. 如图，正方体的顶点在平面上，所有顶点都在平面的同一侧，且满足和与平面所成角
14、均为.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用数量积为0即可得证；（2）利用空间向量的夹角公式即可求解【详解】解：（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则，0，0，1，1，故，设平面的法向量为，且，不妨取，故，可得，根据法向量的特点，不妨设平面的一个法向量为，又平面平面；（2）由（1）得，0，故，设直线与平面所成角的为，则【点睛】本题考查立体几何中的线面平行的判定定理、线面角、用空间向量解决空间角，考查空间想象能力，运算求解
15、能力，属于中档题21. 已知抛物线（1）若抛物线的焦点坐标为，求抛物线的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线与抛物线相交于，两点，若线段上有一点，满足，使得，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据交点坐标，则求得，则抛物线方程得解；（2）根据已知条件，设出直线方程，联立抛物线方程，即可求得，再根据三角形中的几何关系，则问题得解.【详解】（1）因为抛物线焦点坐标为，故可得，解得，故抛物线方程为：.（2）根据题意，显然直线斜率存在，故设直线方程为，设点，因为，故可得；又，故可得；联立直线与抛物线方程可得：，即，设两点坐标为，故可得；又故可得，整理得，即，由，可得，故可得，也即
16、三角形为直角三角形.故.【点睛】本题考查由焦点坐标求抛物线方程，以及求抛物线中的定值问题，属中档题.22. 已知，函数，.（1）若函数与在处的切线斜率相同，求；（2）若对任意实数，存在实数，使得函数在定义域内恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本小题直接求两个函数的导函数，再令两个导函数在处的导数值相等即可解题；（2）本小题借导函数的单调性判断最值，再构建函数结合恒成立即可解题.【详解】解：（1） ， ， 函数与在处的切线斜率相同，即解得：.（2） ， ，令， ， ， 在单调递增， 函数在定义域内恒成立，即恒成立，令， ，即，解得：.【点睛】本题考查导函数值等于对应点处的切线的斜率，导函数在函数的性质中的应用，是偏难题.
