1、浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角【详解】解：设直线的倾斜角为，因为直线
2、为，所以其斜率，所以，因为，所以，故选：A【点睛】此题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题时要注意倾斜角的范围，属于基础题.2.已知圆的方程为，则圆的半径为（ ）A. 3B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径.【详解】将一般方程化为标准方程得， 圆的半径为：.故选：B.【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径.3.在中，则形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】【分析】先由得到，由余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，即可判断出结果.【详解】解：因为，所以，
3、 ，所以不妨设，所以因此角为钝角，三角形为钝角三角形.故选：C.【点睛】本主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.4.若实数x，y满足，则的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】先做出不等式约束的平面区域，再根据线性规划求解即可.【详解】解：实数x，y满足表示的平面区域如图，令，根据图象，当目标函数经过可行域的点时，取得最大值，由解得 所以故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5.圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意
4、，设直线与圆的交点为，的中点为点，分析圆的圆与半径，求出圆心到直线的距离，即可求出的大小，从而分析可得答案.【详解】解：根据题意，设直线与圆的交点为，的中点为点，圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以，因为，所以，所以，所以圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为，故选：D【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，注意利用圆心到直线的距离分析此题，属于基础题.6.关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用绝对值三角不等式确定的最小值，再解不等式即可.详解】解：根据绝对值三角不等式，得，所以不等式恒成立等价于，解得：或，即实数a的取值范围是，故
5、选：D.【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数的取值范围7.等差数列的前n项和为，若，则当取得最大值时，（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意易得，由可知，即，进而可得结果.【详解】根据题意，等差数列中，由，则，又由为等差数列，则， 又由，则， 则当时，取得最大值，故选：C【点睛】本题考查等差数列的前项和取最大值时的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题.8.若实数a，b满足，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】解：因为，则，当且仅当且时
6、取等号，即时取等号，此时取得最小值3故选：B【点睛】本题主要考查了利用基本不等求解最值，解题时要注意等号成立条件，属于中档题9.已知正项等比数列，满足，则的值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由基本不等式的性质可知，再结合等比数列的中项公式，可解出的取值范围，对比选项即可得解【详解】解：由基本不等式的性质可知，因为，所以故选：【点睛】本题考查等比数列的中项公式和基本不等式的性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题10.已知数列满足，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数列的递推关系式，推出然后得到，说明的范围【详
7、解】解：由递推关系可知，所以.即，可求，所以.因为，解得，故选：B.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查分析问题解决问题的能力属于中档题非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知直线方程为，直线的方程为，则直线的斜率为_，直线与的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直线化为，得出斜率值；直线化为，计算直线与的距离【详解】解：直线的方程为，所以直线可化为，它的斜率为；又直线可化为，直线的方程为，所以直线与的距离为故答案为：；【点睛】本题考查了直线的斜率与两平行线间的距离计算问题，属于基础题12.设数列
8、满足，且，则数列中的最小项为_，最大项为_（要求写出具体的值）.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】由已知条件可知数列是等差数列，可求出其通项，从而可求出数列的通项，结合反比例函数的性质分析可得答案.【详解】解：因为数列满足，且，所以数列是以2为公差，为首项的等差数列，所以 ，所以，令，此函数在上单调递减，且在上单调递减，且所以对于，当时，其有最小值，当时，其有最大值，所以数列中最小项为，最大项为1，故答案为：；1【点睛】此题考查数列的函数特性，涉及等差数列的通项公式，考查转化思想，属于基础题.13.已知，则直线过定点_；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是_.【答案】 (1
9、). (2). 【解析】【分析】将直线化简成点斜式的形式得：，可得直线的斜率为且经过定点，利用定点在圆内或圆上，从而得到答案【详解】解：将直线化简为点斜式，可得，直线经过定点，且斜率为即直线过定点恒过定点和圆恒有公共点，即半径的最小值是1，故答案为：；【点睛】本题给出含有参数的直线方程，求直线经过的定点坐标着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题14.已知两圆和交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线方程是_，公共弦AB长度为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将两圆的方程写为标准形式，分别得到圆心和半径，直线即为所求；联立两圆的方程可得线段所在的直线方程，利用点到直线的
10、距离公式可得圆心到直线的距离，于是即得结果.【详解】圆的标准方程为，其中圆心，半径为4；圆的标准方程为，其中圆心，半径为1，而线段的垂直平分线恰为直线，其方程为，即；联立两圆的方程可得，线段所在的直线方程为，所以圆心到直线的距离，所以，故答案为：；.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.15.设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意得出，由数列是单调递增数列得出，可得，令，求得数列最小项的值，由此可得出实数的取值范围.【详解】，由于数列是单调递增数列，则，即，整理得，令，所以，数列单调递增
11、，则数列的最小项为，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查数列的单调性求参数的取值范围，考查数列单调性定义的应用，属于中等题.16.设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将化为，然后利用三角形内角和定理将用代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得，再由同角三角函数关系可得，将其代入展开式消去，结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解： 由正弦定理边角互化得，又 ， ， 当或时，等式不成立， ， ，又 ， ，当且仅当，即等号成立， .故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意
12、的是在利用基本不等式时，要根据条件确定.17.已知，且，若不等式恒成立，则实数t的取值范围_.【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求出最小值，然后解不等式可求出t的取值范围【详解】解：因为，且，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为16，所以不等式恒成立，等价于，解得，所以t的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查了利用基本不等式求最值，不等式恒成立问题，解一元二次不等式等知识，考查数学转化思想，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）若，求的面积；（2）若，求周长的
13、取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理得，再根据三角形面积公式计算即可；（2）由（1），结合正弦定理得，再利用三角恒等变换化简，利用三角函数性质求范围即可.【详解】解：（1）由，得，由余弦定理可知，因为，以.又因为，所以面积为.（2）由（1）得， 由正弦定理可得所以. ， ，.周长的取值范围是.【点睛】本题考查正余弦定理以及三角恒等变换解三角形，考查数学运算能力，是中档题.19.在公差不为零的等差数列中，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设公差不为零的等差数列，运用等差数列的通项公式和等比
14、数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）由（1）可得，再对分两种情况讨论，分别利用等差数列求和公式计算可得；【详解】解：（1）设公差为，由、成等比数列，得.解得.所以.（2）因为所以.当时，所以.当时，所以.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，意见等比中项的性质的应用，属于中档题20.已知，函数.（1）当，解不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）时不等式为一元二次不等式，求出解集即可；（2），时不等式化为，分离，求出对应函数的最小值即可【详解】解：（1）当时，解得.不等式的解集为.（2）不等式，
15、即，.当时，当时等号取到.当时，当时等号取到.，.综上所述，m的取值范围是.【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，属于中档题21.在平面直角坐标系xOy中，.（1）过点作的切线，求切线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别与交于A、C、B、D四点，求四边形ABCD面积的最大值.【答案】（1）和；（2）6.【解析】【分析】（1）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况；（2）设点到直线、的距离分别为，根据四边形的面积公式利用基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）当切线斜率不存在时，易观察直线与圆E相切.当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方
16、程为，即.圆心到切线的距离，解得，切线方程为.所以，过点P的圆的切线方程为和.（2）设点E到直线AC、BD的距离分别为，则有，可求得，.，当且仅当时等号取到.四边形ABCD面积的最大值为6.【点睛】本题考查了圆的标准方程及其性质、勾股定理、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.已知数列满足，.（1）求，的值，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若数列的前n项和为，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式求，的值即可，两边同加，构造为等比数列，即可解决；（2）利用对数运算得，再用裂项求和计算即可；（3）由不等式性质得，利用做差比较可得，再分别利用等比数列求和公式计算并作适当放缩即可证明.【详解】解：（1），；由，可得，.数列是以3为首项、3为公比的等比数列.，数列的通项公式为：.（2）若，.（3）由不等式的性质得：， ，.所以数列的前n项和为满足：.【点睛】本题考查构造法求数列通项公式，裂项求和法求数列前项和，不等式放缩证明不等式等，考查数学运算能力.
