1、陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三数学下学期第一次质量检测试题 理（含解析）一、单选题（共12小题）.1已知集合Ay|yln（x1），B0，1，2，3，则AB（）A0，1，2，3B1，2，3C2，3D0，12已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（）ABCD3设a0.50.4，blog0.50.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca4将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（）A480种B360种C420种D320种5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、
2、c成等差数列，B30，ABC的面积为，则b等于（）ABCD6设，则展开式中的常数项为（）A560B1120C2240D44807已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x（0，2）时，f（x）x2+lnx，则f（2019）（）A1B0C1D28若函数f（x）x+（x2），在xa处取最小值，则a（）A1+B1+C3D49已知函数f（x）sin（x+）（0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）ABC0，D10已知平面向量，均为单位向量，若，则的最大值是（）AB3CD11已知直线a，b与平面，满
3、足a，b，l，则下列命题中正确的是（）A是ab的充分不必要条件Bal是的充要条件C设，则ab是al的必要不充分条件D设，则ab是al的既不充分也不必要条件12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）4，则不等式exf（x）ex+3的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）二、填空题（每小题5分，共20分）13已知椭圆的一个焦点为（1，0），则C的离心率为 14函数在上的值域为 15已知数列an满足2a1+22a2+23a3+2nann（nN*），若bn，则数列bn的前n项和Sn 16记函数在区间（2，4）上的零点分别为xxi（i1，2，n）
4、，则 三、解答题（共70分）17已知向量（sinA，sinB），（cosB，cosA），sin2C，且A、B、C分别为ABC三边a、b、c所对的角（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且18，求c边的长18公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个
5、接种周期；试验共进行3个周期已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关（）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCC1B1是边长为2的正方形，平面ABC平面BCC1B1，AB1，ABBC，点E为棱AA1的中点（）求证：BC1平面A1B1C；（）求直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值20已知函数f（x）（x1）ex
6、alnx（ae）（）当ae时，（i）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（ii）求函数yf（x）的最小值；（）若曲线yf（x）与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围21已知点P（0，1）为椭圆C：上一点，且直线x+2y20过椭圆C的一个焦点（1）求椭圆C的方程（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，若k1+k22，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O
7、为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为28cos6isin110（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，0），点P（1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知点P（a，b）在圆C：x2+y2x+y（x，y（0，+）上，（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，满足（a+1）（b+1）4？如果存在，请说明理由参考答案一、单选题（共12小题）.1已知集合Ay|yln（x1），B0，1，2，3，则AB（）A0，1，2，3B1，2，3C2，3D0，1解：AR，B0，1，2，3，AB0，1，2，3故
8、选：A2已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（）ABCD解：，|z|2，则故选：B3设a0.50.4，blog0.50.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca解：0a0.50.40.501，blog0.50.3log0.50.51，clog80.4log810，cab故选：C4将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（）A480种B360种C420种D320种解：四棱锥为PABCD下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）各个点的不同的染色方法 P：C51，A：
9、C41，B：C31，C与A同色：D：C31，故共有 C51，C41C31C31种（2）各个点的不同的染色方法 P：C51，A：C41，B：C31，C与A不同色C21，D：C21，故共有C51C41C31C21C21种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：C51C41C31C31+C51C41C31C21C21420故选：C5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为，则b等于（）ABCD解：由余弦定理得b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accosB，又SABCacsinBac，ac6，a、b、c成等差数列，a+c2b，将代入
10、得 b24b2126，化简整理得b24+2，解得b1+故选：A6设，则展开式中的常数项为（）A560B1120C2240D4480解：设cosx2，则展开式中的通项公式为Tr+12rx82r，令82r0，求得r4，可得展开式中的常数项为161120，故选：B7已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x（0，2）时，f（x）x2+lnx，则f（2019）（）A1B0C1D2解：由题意可得：f（2019）f（50541）f（1）f（1）（12+ln1）1故选：A8若函数f（x）x+（x2），在xa处取最小值，则a（）A1+B1+C3D4解：f（x）x+x2+24当x21时，即x3时等号成立x
11、a处取最小值，a3故选：C9已知函数f（x）sin（x+）（0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）ABC0，D解：函数f（x）sin（x+）（0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T，所以：2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）sin（2x+）是偶函数，故：（kZ），解得：（kZ），由于：，所以：当k0时则，令：（kZ），解得：（kZ），当k0时，单调递减区间为：，由于，故选：B10已知平面向量，均为单位向量，若，则的最大值是（）AB3CD解：平面向量，均为单位向量，（+）2
12、+2+3，故|；+（+）（）+|+|+；当且仅当与反向时取等号故选：C11已知直线a，b与平面，满足a，b，l，则下列命题中正确的是（）A是ab的充分不必要条件Bal是的充要条件C设，则ab是al的必要不充分条件D设，则ab是al的既不充分也不必要条件解：由直线a，b与平面，满足a，b，l，知：在A中，是ab的不充分不必要条件，故A错误；在B中，al是的充分不必要条件，故B错误；在C中，设，则ab是al的必要不充分条件，故C正确；在D中，设，则ab是al的必要不充分条件，故D错误故选：C12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）4，则不等式exf（x）ex+3的解集为（）
13、A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）解：令g（x）exf（x）1，xR，则g（x）exf（x）1+f（x），f（x）+f（x）1，g（x）0恒成立，即g（x）在R上单调递增f（0）4，g（0）e0f（0）13不等式exf（x）ex+3可化为exf（x）13，等价于g（x）g（0），x0故选：A二、填空题（每小题5分，共20分）13已知椭圆的一个焦点为（1，0），则C的离心率为解：椭圆的一个焦点为（1，0），可得a231，解得a2，所以椭圆的离心率为故答案为：14函数在上的值域为2，4解：，f（x）的值域为2，4，故答案为：2，415已知数列an满足2a1+22a2+
14、23a3+2nann（nN*），若bn，则数列bn的前n项和Sn解：因为2a1+22a2+23a3+2nann（nN*），所以2a1+22a2+23a3+2n1an1n1（n2），两式相减得2nan1（n2），当n1时也满足，故an，bn，故Sn1+1故答案为：16记函数在区间（2，4）上的零点分别为xxi（i1，2，n），则6解：令0，得，画出，ycosx在区间（2，4）上的图象如图所示，两个函数图象都关于x1对称，所以两个函数图象的六个交点也关于直线x1对称，所以326，故答案为：6三、解答题（共70分）17已知向量（sinA，sinB），（cosB，cosA），sin2C，且A、B、C分
15、别为ABC三边a、b、c所对的角（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且18，求c边的长解：（1）由于 ，对于ABC，A+BC，0C，sin（A+B）sinC，又，（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinCsinA+sinB，由正弦定理得2ca+b，即abcosC18，ab36由余弦弦定理c2a2+b22abcosC（a+b）23ab，c24c2336，c236，c618公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病
16、毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期；试验共进行3个周期已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关（）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望解：（）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现
17、Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得：一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为：P1（）随机变量X1，2，3，设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”，P（X1）P（C），P（X2）1P（C）P（C）（1），P（X3）1P（C）1P（C）1（1）（1）1，所以X的分布列为：X123PX的数学期望E（X）19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCC1B1是边长为2的正方形，平面ABC平面BCC1B1，AB1，ABBC，点E为棱AA1的中点（）求证：BC1平面A1B
18、1C；（）求直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值【解答】（）证明：平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AB平面ABC，且ABBC，AB平面BCC1B1，在三棱柱ABCA1B1C1中，有ABA1B1，A1B1平面BCC1B1，得A1B1BC1BCC1B1是正方形，BC1B1C，而A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C；（）由（）知，AB平面BCC1B1，又BCBB1，以B为坐标原点，分别以BC，BB1，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则B（0，0，0），C（2，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0），E（0，1，1），设平面CB1E的一个法向量为
19、由，取x1，得设直线BC1与平面B1CE所成角为则sin|cos|即直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值为20已知函数f（x）（x1）exalnx（ae）（）当ae时，（i）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（ii）求函数yf（x）的最小值；（）若曲线yf（x）与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围解：（）（i）当ae时，f（x）（x1）exelnx，f（x）xex，f（1）ee0，f（1）0，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0，（ii）令g（x）xex，x0，g（x）（x+1）ex+0，g（x）在（0，+）上单调递增，g（1）ee0，当x（0，1）时，g
20、（x）f（x）0，函数f（x）单调递减，当x（1，+）时，g（x）f（x）0，函数f（x）单调递增，f（x）minf（1）0（）f（x）（x1）exalnx，x0，f（1）0，且曲线yf（x）与x轴有且仅有一个公共点，函数f（x）有且仅有1个零点，这个零点为1，f（x）xex，当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，x0+时，f（x），x+时，f（x）+，所以符合函数f（x）有且仅有1个零点，这个零点为1，当0ae时，令g（x）x2exa，（x0），g（x）2xex+x2ex（x2+2x）ex0，所以在（0，+）上，g（x）单调递增，所以g（x）g（0）a0，g（1）ea0，
21、所以x0（0，1）时，g（x0）0，即x02ea，所以在（0，x0）上g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减，在（x0，+）上g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）minf（x0），所以如果有1个零点，只能是x0（0，1），不符合题意当ae时，f（x）（x1）exelnx，x0f（x）xex，令h（x）x2exe，（x0），h（x）2xex+x2ex（x2+2x）ex0，所以在（0，+）上，h（x）单调递增，所以h（x）g（0）e0，h（1）ee0，所以在（0，1）上g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减，在（1，+）上g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）
22、minf（1）0，符合题意所以实数a的取值范围：a0或ae21已知点P（0，1）为椭圆C：上一点，且直线x+2y20过椭圆C的一个焦点（1）求椭圆C的方程（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，若k1+k22，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由解：（1）由椭圆的方程可得，焦点在x轴上，点P（0，1）在椭圆上，所以b1，又因为直线x+2y20过椭圆C的一个焦点令y0，所以x2，即c2，而a2b2+c21+45，所以椭圆C的方程：+y21；（2）恒过定点，证明过程如下：（i）当直线l的斜率不为0时，设直线xny+t，设A（x1，y
23、1），B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆联立整理可得：（5+n2）y2+2nty+t250，4n2t24（5+n2）（t25）0，即t2n2+5，y1+y2，y1y2，因为k1+k2+，而k1+k22，所以可得tn1，t1+n，所以直线l的方程为xny+1+n，即x1n（y+1）0，当x1，y1，即直线过（1，1）；（ii）当直线l的斜率为0时，设直线l的方程xm，设A（x1，y1），设y10，B（x1，y1），将xm（m，），代入椭圆的方程可得y21，则y1，所以A（m，），B（m，），所以k1，k2，因为k1+k22，所以+2，解得m1，即直线AB的方程为：x1；（1，1）也在直线x1
24、，综上所述：直线l恒过（1，1）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为28cos6isin110（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，0），点P（1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围解：（1）曲线C的极坐标方程为28cos6isin110转换为直角坐标方程为（x4）2+（y3）236（2）将线l的参数方程为，（t为参数，0），与圆C方程联立得：t26（sin+cos）t180，所以t1+t26（sin+cos），t1t218，所以，又0，所以sin21，1，故其中，取到最大值12，时取到最小值6选修4-5：不等式选讲23已知点P（a，b）在圆C：x2+y2x+y（x，y（0，+）上，（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，满足（a+1）（b+1）4？如果存在，请说明理由解：（1），当且仅当ab1时，等号成立所以的最小值为2（2）存在因为a2+b22ab，所以（a+b）22（a2+b2）2（a+b），所以（a+b）22（a+b）0，又a，b（0，+），所以0a+b2从而有，因此存在a1，b1，满足（a+1）（b+1）4
