1、福建省龙海市第二中学 2021 届高三数学上学期第三次（1 月）月考试题（考试时间：120 分钟 总分：150 分）第卷（共 60 分）一、选择题：（一）单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知（为虚数单位）的共轭复数为，则（）A B C D 2.在等差数列 na中，8351393()2()24aaaaa，则此数列前13项的和是（）A13 B26 C52 D56 3，（其中 为自然对数）则（）A B C D 4我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各
2、几何？”意思是说：“有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为（）A12尺 B10 尺 C9 尺 D14尺 5.函数 cosf xx 0,2的图象如图所示，为了得到sinyx的图象，只需把 yf x的图象上所有点（）A向右平移 6 个单位长度 B向右平移12 个单位长度 C向左平移 6 个长度单位 D向左平移12 个长度单位 6已知直线，平面、，其中，在平面 内，下面四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则 以上命题中，正确命题的序号是（）A B C D 7为了增强数学的应用性，
3、强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶 处的仰角为；然后从 处向正西方向走米后到达地面 处，测得该山在西偏北方向，山顶 处的仰角为同学们建立了如图模型，则山高为（）A米 B米 C米 D米 8设双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于 A，B 两点，若123FBF A，则该双曲线的离心率是（）A 54 B 43 C 32 D2 （二）多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项
4、中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得 0 分，只选出部分正确选项得 3 分，选出全部正确选项得 5 分）9我国技术研发试验在 2016-2018 年进行，分为关键技术试验、技术方案验证和系统验证三个阶段实施2020 年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近 5 个月来手机的实际销量，如下表所示：月份 2020 年 6 月 2020 年 7 月 2020 年 8 月 2020 年 9 月 2020 年 10 月 月份编号 1 2 3 4 5 销量 /部 50 96 a 1 85 227 若 与 线相关，且求得线回归方程为，则下列说法
5、正确的是（）A B 与 正相关 C 与 的相关系数为负数 D12 月份该手机商城的手机销量约为部 10下列结论正确的有（）A若随机变量21,N，40.79P ，则 20.21P B若110,3XB，则3222DX C已知回归直线方程为10.8ybx，且4x，50y，则 9.8b D已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 22 11.如图，在直三棱柱111ABCA B C中，12AAAC，3AB，90BAC，点 D，E 分别是线段 BC，1B C 上的动点(不含端点)，且1ECDCB
6、 CBC，则下列说法正确的是（）A/ED平面1ACC B四面体 ABDE的体积是定值 C当点 E 为1B C 的中点时，直线 AE 与平面11AA B B 所成的角和直线 AE 与平面11A ACC 所成的角相等 D.异面直线1B C 与1AA 所成角的正切值为 132 12在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角 的正矢，记作，定义 1-sin 为角 的余矢，记作，则下列命题中正确的是（）A函数在上是减函数 B若，则 C函数，则的最大值 D 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知单位向量、
7、的夹角为，与垂直，则_ 14福建省 2021 年的新高考按照“”的模式设置，“”为全国统一高考的语文、数学、外语 门必考科目；“”由考生在物理、历史 门中选考 门科目；“”由考生在思想政治、地理、化学、生物学 门中选考 门科目则甲，乙两名考生在 门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为_ 15.已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线方程为2x ，焦点为 F，准线与 x 轴的交点为,A B 为抛物线C 上一点，且满足52BFAB，则 BF=_ 16某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第 97 页 B 组第 3 题的函数为基本素材，研究该
8、函数的相关性质，取得部分研究成果如下：同学甲发现：函数是偶函数；同学乙发现：对于任意的(1,1)x 都有；同学丙发现：对于任意的，都有；同学丁发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.其中所有正确研究成果的序号是_ 三解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17（10 分）已知在中，为钝角，（1）求证：；（2）设，求边上的高 18（12 分）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列（）求数列和的通项公式；（）在（1），（2），（3）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解 若_，求数列的前 项和 注：如果
9、选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分 19（12 分）如图，在直三棱柱中，点，分别在，且，设（1）当异面直线与所成角的大小为，求 的值（2）当时，求二面角的大小 20习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足 4 千步的人为“不健康生活方式者”，不少于 10 千步的人为“超健廉生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校 40 名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率
10、分布直方图如图所示：（1）求 40 名教职工日行步数（千步）的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替，结果四舍五入保留整数）；（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布.其中 为样本平均数，标准差的近似值为 2.5，根据（1）的计算结果（取整数）.求该校被抽取的 40 名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校全体教职工中随机抽取 3 人作为“日行万步”活动的奖励对象，求 3 人中日行步数（千步）在内的人数 的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，21已知椭圆2222:10 xyCaba
11、b的左、右焦点分别为121,0,1,0FF，点21,2A在椭圆C 上（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为 2 的直线l，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点 MN、时，能在直线53y 上找到一点 P，在椭圆C 上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由 22（12 分）已知函数 lnf xxax（1）讨论 f x 的单调性；（2）若1212,x xxx是 f x 的两个零点 证明：（）122xxa；（）212 1 eaxxa 参考答案 一、选择题（一）单项选择题 1、A 2、B 3、B 4、A 5、A 6、C 7、C 8、C（二）多项选择题 9、AB 10
12、、AC 11、AD 12、BD 二、填空题 13、_ 14、15、168 3 16、三、解答题 17、(1)证明:，5分(2)解:由（1）知 ，即：,将代入上式并整理得:又因为 B 为锐角，所以解得，.7分 设 AB 上的高为 CD,则，得 故 AB 边上的高为.10分 18、（）设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为，由题得，即 解得，所以，；6分（）（1），则 故 12 分（2），；，由-，得，即 12 分（3）则 故 12 分 19、解：因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以建立分别以，为轴的空间直角坐标系.（1）设1a ，则，A，各点的坐标为，.，.2 分 因为，又异面
13、直线与所成角的大小为 所以.所以.6 分（2）因为，.，设平面的法向量为，则，且.即，且.令，则，.又,所以是平面的一个法向量.同理，是平面的一个法向量.10 分 所以 所以平面平面，当时，二面角的大小为 12 分 20解（1）6.967（千步）；2 分 （2），该校被抽取的 40 名教职工中日行步数（千步）的人数约为（人）5 分（3）由频率分布直方图知，日行步数（千步）在内的概率为.X 的取值分别为：0，1，2，3.，X 的分布列为：0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 数学期望为.12 分 21、试题解析：（1）设椭圆C 的焦距为 2c，则1c ，因为2(1,
14、)2A在椭圆C 上，所以122aAFAF2 2，因此2a，2221bac，故椭圆C 的方程为2212xy 4 分（2）椭圆C 上不存在这样的点Q 证明如下：设直线l 的方程为2yxt，设11(,)M x y，22(,)N x y，35(,)3P x，44(,)Q x y，MN 的中点为00(,)D x y，由222,1,2yxtxy得229280ytyt，所以1229tyy，且22436(8)0tt，故12029yyty，且 33t ，由 PMNQ知四边形 PMQN 为平行四边形，而 D 为线段 MN 的中点，因此，D 也是线段 PQ 的中点，所以405329yty，可得42159ty，又 3
15、3t ，所以4713y ，因此点Q 不在椭圆上.12 分 22解：（1）)(xf定义域），（0 xaxaxxf11)(则当0a时)(xf在），（0为增函数;2 分 当0a时)(xf在），（a10为增函数，在）（,1a为减函数 4 分 （2）证明：（i）原不等式等价于axx1221，因为11ln xax 22ln xax 由-得，1212lnln)xxxxa（则1212lnlnxxxxa 则axx1221等价于121221lnln2xxxxxx 因为012 xx所以0lnln12xx即证2112122lnlnxxxxxx）（等价于01)1(2ln121212xxxxxx设)1(,12txxt设)
16、1(,1)1(2ln)(tttttg 等价于0)(tg 0)1()1()1(21)(222ttttttg)(tg在），（1上为增函.01)1(2ln121212xxxxxx 0)1()(gtg，即 axx1221 8 分 （ii）设xxxhln)(，则2ln1)(hxxx 所以上递减，上递增，在，在eex0)(h 因为)(h xa 有两个不相等的实根，则21110 xexea且 易知1ln xx对,11,0 x恒成立，则1ln1xx 对10，x恒成立 11111ln1ln1xeexxax，因为01 x，所以02 121exax 又因为044,0aea，所以aeaaxaeaax111111或 因为eaex1001且，所以aeaax111 因为axx1221，所以aeaaaxxx1112121 即aeaxx1212 12 分
