1、章末检测(八) 函数应用(时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(1，2) B(0，1)C(2，e) D(3，4)解析：选Af(1)ln 22lnln 10，f(2)ln 31lnln 10，所以函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是(1，2)2用二分法求方程f(x)0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)，f(2)5，f9，则下列结论正确的是()Ax0 Bx0Cx0 Dx01解析：选C由于ff(2)0，则x0.3已知
2、函数f(x)在区间a，b上是单调函数，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b内()A至少有一实根 B至多有一实根C没有实根 D必有唯一实根解析：选B由于f(a)f(b)0，则f(a)0f(b)或f(b)02时，f(x)(x2)2，则方程f(x)的所有实数根之和是()A2 B3C5 D8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x2时，由(x2)2，解得x3，故方程f(x)的所有实数根之和是5，故选C.7把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1()，空气的温度是T0()，经过t分钟后物体的温度T()可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体，放在1
3、0 的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)()A1.78 B2.77C2.89 D4.40解析：选B由题意可知5010(9010)e0.25t，整理得e0.25t，即0.25tlnln 20.693，解得t2.77.8若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A5 B4C3 D2解析：选B偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，函数的周期为2.当x0，1时，f(x)x，故当x1，0时，f(x)x.函数yf(x)log3|x|的零点的个数等于函
4、数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示显然函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点，故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9下列函数中，是奇函数且存在零点的是()Ayx3x Bylog2xCy2x23 Dyx|x|解析：选ADA中，yx3x为奇函数，且存在零点x0，与题意相符；B中，ylog2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y2x23为偶函数，与题意
5、不符；D中，yx|x|是奇函数，且存在零点x0，与题意相符10下面对函数f(x)logx与g(x)在区间(0，)上的衰减情况的说法中错误的有()Af(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快Bf(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢Cf(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢Df(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选ABD结合指数函数y和对数函数ylogx的图象(图略)易得C正确，A、B、D错误11如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出
6、了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为()A骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 hB骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者D骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样解析：选ABC看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误12如图是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了
7、两种调整的建议，如图所示则下列说法中，正确的有()A图的建议：提高成本，并提高票价B图的建议：降低成本，并保持票价不变C图的建议：提高票价，并保持成本不变D图的建议：提高票价，并降低成本解析：选BC根据题意和图知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13用二分法求方程x32x50在区间(2，
8、4)上的实数根时，取中点x13，则下一个有根区间是_解析：设f(x)x32x5，则f(2)0，f(4)0，有f(2)f(3)0，则下一个有根区间是(2，3)答案：(2，3)14设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)公司决定从原有员工中分流x(0x100，xN*)人去进行新开发的产品B的生产分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是_解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100x)(11.2x%)t，则由解得0x.因
9、为xN*，所以x的最大值为16.答案：1615若函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，方程4x2xa0在1，1上有解，即方程a4x2x在1，1上有解方程a4x2x可变形为a，x1，1，2x，.实数a的取值范围是.答案：16已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.(1)y与x的关系式为_；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间
10、不能超过_小时(精确到0.1)(参考数据：0.20.30.6，0.82.30.6，0.87.20.2，0.89.90.1)解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y2 500(120%)x2 5000.8x(mg)，即y与x的关系式为y2 5000.8x.(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，令2 5000.8x500，即0.8x0.2.0.87.20.2，y0.8x是单调递减函数，x7.2，要使病人没有危险，再次注射该药物的时
11、间不能超过7.2小时答案：(1)y2 5000.8x(2)7.2四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设函数f(x)求函数g(x)f(x)的零点解：求函数g(x)f(x)的零点，即求方程f(x)0的根当x1时，由2x20得x；当x1时，由x22x0得x(舍去)或x.函数g(x)f(x)的零点是和.18(本小题满分12分)已知函数f(x)ax22x2a(a0)(1)若a1，求函数的零点；(2)若函数在区间(0，1上恰有一个零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x22x1，令f(x)x22x10，解得x1，所以当a1时
12、，函数f(x)的零点是1.(2)当a0时，2x20得x1，符合题意当a0)，表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用ybx(b0)，表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系把x1，y0.65代入式，得0.65a(14)22，解得a0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y0.15(x4)22来表示把x4，y1代入式，解得b0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y0.25x来表示设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，得即W0.150.152.6.故当xA3
13、.2时，W取得最大值，约为4.1，此时，xB8.8.即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元20(本小题满分12分)某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)|log25(x1)a|2a1，x0，24，其中a为污水治理调节参数，且a(0，1)(1)若a，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；(2)规定一天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？解：(1)因为a，则f(x)22.当f(x)2时，log25(x1)0，得x1255，即x4.所以一天
14、中早上4点该厂的污水污染指数最低(2)设tlog25(x1)，则当0x24时，0t1.设g(t)|ta|2a1，t0，1，则g(t)显然g(t)在0，a上是减函数，在(a，1上是增函数，则f(x)maxmaxg(0)，g(1)，因为g(0)3a1，g(1)a2，则有解得a，又a(0，1)，故调节参数a应控制在内21(本小题满分12分)某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件
15、5k(kN*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？解：(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个所以g(x)，h(x).则g(x)h(x).因为0x214，且xN，kN*，所以当0h(x)，当137x214时，g(x)h(x)所以f(x)其中xN.(2)因为当0x137时，f(x)为减函数，当137x214时，f(x)为增函数，且1，所以当
16、x137时f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少22(本小题满分12分)某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利已知地铁1号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2t20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10t20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2t10时，载量会减少，减少的人数与(10t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t)(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q60(元)问：当列车发车时间间隔为多少分钟时，该线路每分钟的净收益最大？解：(1)当10t20时，s(t)500.当2t10时，s(t)500k(10t)2，s(2)372，372500k(102)2，解得k2.s(t)5002(10t)2.s(t)s(5)500252450(人)(2)当10t20时，s(t)500.Q60606074.4.可得Qmax74.4.当2t10时，s(t)5002(10t)2.Q6016260，函数yt在t2，4)上为减函数，在t(4，10)上为增函数，当t4时，Qmax132.当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元.
