1、课时作业梯级练六十三圆锥曲线与其他知识的交汇问题一、选择题(每小题5分，共25分)1已知A，B，P为双曲线x21上不同三点，且满足2 (O为坐标原点)，直线PA，PB的斜率记为m，n，则m2的最小值为()A8B4C2D1【解析】选B.由2知点O为线段AB的中点，设A(x1，y1)，P(x2，y2) ，则B(x1，y1) ，所以m，n ，故mn ，由于点A，B，P在双曲线上，所以x1，x1 ，代入上式，有mn4 ，所以m22mn4 ，当且仅当m2时取等号，故最小值为4.2设抛物线C：y24x的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8【解析】选D.由题意知直线M
2、N的方程为y(x2)，F(1，0).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与抛物线方程联立有可得或所以(0，2)，(3，4)，所以03248.【一题多解】选D.过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.3在平面直角坐标系中，已知点P是椭圆E：y21上的动点，不经过点P的直线l交椭圆E于A，B两点若0，直线l与直线PO交于点Q，则动点Q的轨迹方程为()Ax24y21
3、Bx21Cy21 D4x2y21【解析】选A.设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，设Q(x，y)，因为0，所以点O是ABP的重心，且2，所以2，即x02x，y02y，因为y1，所以x24y21，所以动点Q的轨迹方程是x24y21.4已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()ABC3D2【解析】选C.过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.5设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1 的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|
4、，|AB|，|BF2|成等差数列若直线l的斜率为1，则b的值为()A B C D【解析】选C.由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.设l的方程式为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B 两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.二、填空题(每小题5分，共15分)6如图，F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与圆x2y2a2相切，切点为T，且交双曲线的右支于点P，若2，则
5、双曲线C的离心率e_【解析】连接PF2，过F2作F2QOT，由2，则易知|OF1|c，|OT|a，|TF1|TQ|QP|b，|QF2|2a，|PF2|PF1|2a3b2a，所以在RtPQF2中(3b2a)2(2a)2b2，整理得，所以双曲线C的离心率e.答案：7设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，A，B在椭圆上，且，0，则椭圆E的方程为_【解析】由已知及其椭圆的通径的性质可得点A(c，b2)，所以点B，所以1，所以25c2b29，又因为c2b21，所以b2，所以椭圆E的方程为x21.答案：x218设椭圆1(ab0)的左焦点为F, 离心率为， 过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆
6、截得的线段长为，则椭圆的方程为_；设A, B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于C，D两点，8，则k的值为_【解析】设F(c，0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.求解可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x
7、11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.因为k0，所以k.答案：11.(5分)(2020全国卷)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【解析】选B. 双曲线C:-=1的两条渐近线方程为y=x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以c4,则焦距2c的最小值为8.2已知抛物线C：y2x，M为x轴负半轴上的
8、动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为()ABCD【解析】选A.设切线MA的方程为xtym.代入抛物线方程得y2tym0.由直线与抛物线相切得t24m0，m，所以M，则A，B.故.当t时，的最小值为.3设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_【解析】设点A的坐标为(m，n)，B点的坐标为(c，d).F1(，0)，F2(，0)，可得(m，n)，(c，d)，因为5，所以c，d，又点A，B在椭圆上，所以n21，()21，解得m0，n1，所以点A的坐标是(0，1).答案：(0，1)4设P为椭圆1(ab0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，
9、|PF1|PF2|4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：ykxm(m0)与椭圆交于P，Q两点，试问参数k和m满足什么条件时，直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列【解析】(1)由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a4，所以a2，由e可得c，b1，则椭圆的标准方程为y21.(2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消y得(4k21)x28kmx4m240，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以64k2m216(m21)(4k21)0，解得4k21m2，由根与系数的关系得x1x2，x1x2.由题意知k2kOPkOQ，即k2k2，即为0，即有m20，即k2，即k，0m22.5.(
10、10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0),因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.由消
11、去x得y2+2py-2pb=0(*),因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y1,2=-p,从而y0=-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p.因此p的取值范围为.【加练备选拔高】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且
12、=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y), =(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n),由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
