1、福建省建瓯市芝华中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题考试时间：120分钟 满分：150分 一、 单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1若直线平行于平面，则下列结论错误的是()A平行于内的所有直线B内有无数条直线与平行C直线上的点到平面的距离相等D内存在无数条直线与a成90角2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，B，则A等于()A. B.C. D.或3设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A2 B3 C4 D64.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(
2、1，2)，(2，1)，则()A5 B4C3 D25已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A1 BiC. D06.在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D27 设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.8在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E ADD1的外接球的体积为36，则该正方体的棱长为()A2 B2 C3 D4二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全
3、部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9(多选题)已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是()A若l1l2，l2l3，则l1l3B若l1l2，l2l3，则l1l3C若l1l2l3，则l1，l2，l3不一定共面D若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面10(多选题)对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b211(多选题)如图K415，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论正确结论()图K415A直线AM与CC1是相交直线；
4、B直线AM与BN是平行直线；C直线BN与MB1是异面直线；D直线AM与DD1是异面直线12(多选题)已知ABC的三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件能使得ABC的形状唯一确定的是().A.a=1,b=2,c=2B.A=150,asin A+csin C+asin C=bsin BC.a=,b=2,A=30D.C=60,cos Asin Bcos C+cos(B+C)cos Bcos C=0三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_14设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|
5、2|b|2，则m_15. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_16. 过三棱柱ABC A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条四、解答题：共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分）知非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，BC2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使向量ke1e2与e1ke2平行，试确定实数k的值18(12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abc，2sin2C3sin Asin B.(1)求角C的大小；(2)若S
6、ABC，求c的值19.(12分）D是RtABC斜边BC上一点，ACDC.(1)若DAC30，求角B的大小；(2)若BD2DC，且AD2，求DC的长20(12分）如图15，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积图1521(12分）如图K435，在三棱锥P ABC中，AB平面PAC，APC90，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PNPB.(1)证明：平面PCE平面PAB；(2)证明：MN平面PAC.图K43522(12分）
7、已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，CD2，AD，AB1，如图G109所示，将ABD沿BD折起到PBD的位置，如图所示 (1)当平面PBD平面PBC时，求三棱锥P BCD的体积； (2)在图中，E为PC的中点，若线段BQCD，且EQ平面PBD，求线段BQ的长； (3)求证：BDPC.图G1092020-2021学年芝华中学高一下期中数学试卷答案1A解析 若直线a平行于平面，则内既存在无数条直线与平行，也存在无数条直线与异面且垂直，所以A不正确，B，D正确；因为夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确2B解析 由正弦定理，得，即sin A，因为ba，所以A.3.B解析 由向量a
8、，b共线，得264x0，解得x3，选B.4.A解析 因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，2)(2，1)(3，1)，所以231(1)5，故选A.5.A解析 由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.6C解析 旋转后的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所求几何体的体积为122121.7A解析 由题意知().8.D解析 如图所示，设三棱锥E ADD1外接球的半径为r，三棱锥E ADD1外接球的体积为36，r336，解得r3.取AD1的中点F，连接EF，则三棱锥E ADD1外接球的球心一定在EF上，设球心为点O.设正方体的棱长为x，在RtOFD1中，由勾股
9、定理可得(x3)232(x0)，解得x4，正方体的棱长为4.9. BC解析 当l1l2，l2l3时，l1与l3可能相交、异面或平行，故A不正确；当l1l2，l2l3时，可推出l1l3，故B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C正确；当l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确10ACD解析 根据数量积的定义ab|a|b|cos a，b，所以|ab|a|b|cosa，b|a|b|，选项A中的关系式一定成立；如果选项B中的关系式成立，则|ab|2|a|b|2，可得ab|a|b|，此式只在a，b共线且同向时成立；
10、根据向量的运算法则可知选项C，D中的关系式是恒成立的11.CD解析 A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，故AB不正确，D正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，故C正确12.AC解析B中,由正弦定理可知a2+c2+ac=b2,cos B=-,此时A=150,B=135,三角形无解;D中,cos Asin Bcos C+cos(B+C)cos Bcos C=0,cos(B+C)cos C(cos B-sin B)=0,B=
11、45或者B+C=90,B=30,三角形的解不唯一.13. 5解析 因为z(12i)(3i)35i2i255i，所以其实部为5.142解析 由已知条件得ab0，即m20，即m2.15.解析 因为cos A，cos C，且A，C为三角形的内角，所以sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又因为，所以b.16.解析 符合题意的各中点连线如图，此时平面EFGH与平面ABB1A1平行，所以所求直线有6条17解：(1)证明：因为2e18e23(e1e2)5(e1e2)5，且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2平行，且
12、两向量都为非零向量，所以存在实数使得ke1e2(e1ke2)成立，即(k)e1(k1)e2成立因为e1和e2不共线，所以所以k1.18解：(1)2sin2C3sin Asin B，sin2Csin Asin B，c2ab.又abc，a2b22ab3c2.根据余弦定理，得cos C，cos C，C.(2)SABC，absin C.C，ab4，又c2ab，c.19.解：(1)在ADC中，根据正弦定理，有.因为ACDC，所以sinADCsinDAC，又ADCBBADB6060，所以ADC120.于是C1801203030，所以B60.(2)设DCx，则BD2x，BC3x，ACx，于是sin B，co
13、s B，ABx.在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2BD22ABBDcos B，即(2)26x24x22x2x2x2，得x2，故DC2.20解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABCAB，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.又因为OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的
14、体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.21证明：(1)AB平面PAC，PC平面PAC，ABPC.APC90，APPC，又AP平面PAB，AB平面PAB，APABA，PC平面PAB.PC平面PCE，平面PCE平面PAB.(2)取AE的中点Q，连接NQ，MQ.M是CE的中点，MQAC.PB4PN，AB4AQ，QNAP.又APACA，AP平面APC，AC平面APC，QNQMQ，QN平面MNQ，QM平面MNQ，平面MNQ平面PAC.MN平面MNQ，MN平面PAC.22解：(1)当平面PBD平面PBC时，因为PBPD，且平面PBD平面PB
15、CPB，PD平面PBD，所以PD平面PBC.因为PC平面PBC，所以PDPC.因为直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，CD2，AD，AB1，所以BDBC，PD，所以CP.又因为BP1，所以BP2CP2BC2，所以BPCP，所以SPBCPBPC.故V三棱锥P BCDV三棱锥D PBCSPBCPD.(2)取PD的中点F，连接EF，BF，如图所示因为E为PC的中点，所以EFCD且EFCD.又因为BQCD，所以EFBQ，所以B，F，E，Q共面因为EQ平面PBD，EQ平面BFEQ，且平面BFEQ平面PBDBF，所以EQFB.又因为EFBQ，所以四边形BFEQ是平行四边形，所以BQEFCD1.(3)证明：在题干图中连接AC，交BD于点G，如图a所示因为CDADAB90，所以tanCAD，tanDBA，所以CADDBA.因为CADBAG90，所以DBABAG90，所以BDAC.故将ABD沿BD折起到PBD的位置后，仍有BDPG，BDCG，如图b所示因为PGCGG，所以BD平面PCG. 又因为PC平面PCG，所以BDPC.
