1、课时作业梯级练七指数与指数函数一、选择题(每小题5分,共25分)1.设a0,将表示成分数指数幂,其结果是()A.B.C.D.【解析】选C.由题意=.2.若2m2n1,则()A.B.m-n1C.ln(m-n)0D.mn【解析】选B.因为2m2n1=20,所以mn0,所以m-n0=1,故B正确;而当m=,n=时,检验可得,A、C、D都不正确.3.(a2-a+2 021)-x-11,所以-x-1-2.4.函数f(x)=3-ax+1(a0且a1)的图象恒过定点()A.(-1,2)B.(1,2)C.(-1,1)D.(0,2)【解析】选A.依题意,由x+1=0得,x=-1,将x=-1代入f(x)=3-ax
2、+1得,f(x)=3-a0=2,所以函数f(x)=3-ax+1(a0且a1)的图象恒过定点(-1,2).5.(2021北京模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y=sin xB.y=x3C.y=D.y=log2x【解析】选B.y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x不是单调递增函数,不符合题意;y=是非奇非偶函数,不符合题意;y=log2x的定义域是(0,+),不符合题意;y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数符合题意.【加练备选拔高】定义在-7,7上的奇函数f(x),当00的解集为()A.(2,7B.(-2,
3、0)(2,7C.(-2,0)(2,+)D.-7,-2)(2,7【解析】选B.当0x7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当00等价于f(x)f(2),即2x7,因为f(x)是定义在-7,7上的奇函数,所以-7x0等价于f(x)f(-2),即-2x0的解集为(-2,0)(2,7.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2021昭通模拟)若函数y=|3x-1|在(-,k上单调递减,则k的取值范围为_.【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图
4、所示.由图象知,其在(-,0上单调递减,所以k的取值范围为(-,0.答案:(-,07.函数y=-+1在区间-3,2上的值域是_.【解析】令t=,因为x-3,2,所以t,故y=t2-t+1=+.当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57.故所求函数的值域为.答案:8.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-4)=1,则a=_.【解析】因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-4)=1;故(-1,4)在y=2x+a的图象上,故4=2-1+aa=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020商丘模拟)已知函数f
5、(x)=(a2-2a-2)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式;(2)判断F(x)=f(x)+的奇偶性,并加以证明.【解析】(1)由a2-2a-2=1,可得a=3或a=-1(舍去),所以f(x)=3x.(2)F(x)是偶函数,证明如下:F(x)=f(x)+=3x+3-x,xR.因为F(-x)=3-x+3x=F(x),所以F(x)是偶函数.10.已知函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)=0,所以a=-1.(2)由(1)知f(x)=1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.
6、证明:任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1x2,所以,所以-0,所以f(x1)f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递增.1.(5分)(2021海南模拟)已知f(x)=是定义在R上的奇函数,则不等式f(x-3)f(9-x2)的解集为()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)【解析】选C.因为f(x)=是定义在R上的奇函数,所以f(1)+f(-1)=0,即+=0,解得a=1,则f(x)=1-,易知f(x)在R上为增函数.又f(x-3)f(9-x2),必有x-39-x2,解得-4x0,且a1),下面给出五个命题,其中真命题是_(填序号)
7、.函数f(x)的图象关于原点对称;函数f(x)在R上不具有单调性;函数f(|x|)的图象关于y轴对称;当0a1时,函数f(|x|)的最大值是0.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,是真命题;当a1时,f(x)在R上为增函数,当0a1时,f(x)在R上为减函数,是假命题;y=f(|x|)是偶函数,其图象关于y轴对称,是真命题;当0a1时,f(|x|)在(-,0)上为减函数,在0,+)上为增函数,所以当x=0时,y=f(|x|)的最小值为0,是假命题.综上,真命题是.答案:【加练备选拔高】若函数f(x)=a|2x-4|(a0,且a1),满足f(1)
8、=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+)D.(-,-2【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.3.(5分)若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为_,f(x)的值域为_.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)=1-.因为2x+11,所以02,所以-11-0,且a1,若函数y=|ax-2|与y=3a的图象有两个交点,求实数a的取值范围.【解析】当0a1时,作出函数y=|ax
9、-2|的图象如图(1).若直线y=3a与函数y=|ax-2|(0a1)的图象有两个交点,则由图象可知03a2,所以0a1时,作出函数y=|ax-2|的图象如图(2),若直线y=3a与函数y=|ax-2|(a1)的图象有两个交点,则由图象可知03a2,此时无解.所以实数a的取值范围是.5.(10分)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2上单调递增,在-2,+)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f
10、(x)在(-,-2上单调递减,在-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是-2,+),单调递减区间是(-,-2.(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+)时,a的值为0.【加练备选拔高】已知定义在R上的函数f(x)=2x-,(1
11、)若f(x)=,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当x0,所以2x=2,所以x=1.(2)当t1,2时,2t+m0,即m(-1)-(-1),因为-10,所以m-(+1),因为t1,2,所以-(+1)-17,-5,故实数m的取值范围是-5,+).1.设y=f(x)在(-,1上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x(-,1,恒有fK(x)=f(x),则()A.K的最大值为0B.K的最小值为0C.K的最大值为1D.K的最小值为1【解析】选D.根据题意可知,对于任意x(-,1,若恒有fK
12、(x)=f(x),则f(x)K在x1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.令2x=t,则t(0,2,f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K1.2.已知函数f(x)=bax(其中a,b为常量,且a0,a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m0在(-,1上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),所以所以a2=4,又a0,所以a=2,b=3.所以f(x)=32x.(2)由(1)知a=2,b=3,则x(-,1时,+-m0恒成立,即m+在(-,1上恒成立.又因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以m.即m的取值范围是.
