1、第6讲椭圆(二)1点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.2直线与椭圆位置关系的判断已知直线ykxm，椭圆1，联立得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20，若该一元二次方程的判别式为，则0有两个公共点相交；0有一个公共点相切；b0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，直线AB不过原点且斜率为k(k0)，则(1)弦长l|x1x2| |y1y2|；(2)直线AB的斜率k；(3)直线AB的方程：yy0(xx0)；(4)线段AB的垂直平分线方程：yy0(xx0)1直线y2x1与椭圆1的位置关系是()A相
2、交B相切C相离D不确定答案A解析解法一：直线方程y2x1过点(1,1)，而(1,1)在椭圆内部，所以直线y2x1与椭圆1相交故选A.解法二：由得10y22y350，22410(35)14040，直线y2x1与椭圆1相交故选A.2直线ykx1，当k变化时，此直线被椭圆y21截得的弦长的最大值是()A2BC4D不能确定答案B解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则y21，即x244y2，则弦长为，因为1y1，所以当y时，弦长最大为.3(2022河南平顶山模拟)已知椭圆C：1(ab0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A.1
3、B1C.1D1答案B解析将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点，得(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得a2b29.又椭圆的离心率为，所以，则，解得a25，b24，所以椭圆C的方程为1.4(2021江西上饶市模拟)已知椭圆：1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A，B两点若3，则k()A1B2CD答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2.因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a2b，设bt，则a2t，故ct，所以1.设直线AB的方程为xsyt，代
4、入上述椭圆方程，得(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，即2y2，3y，得s2，k(k0)，故选D.5已知椭圆x22y2 4，则以(1,1)为中点的弦所在的直线方程为_答案x2y30解析设以(1,1)为中点的弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.又x1x22，y1y22，弦所在的直线方程为x2y30.6(2021郑州质检)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B在椭圆上，则有0，0，由题意知
5、x1x22，y1y22，0，a22b2，e.考向一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方
6、程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm0C0m5且m1Dm1且m5答案D解析解法一：由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，所以020m(m2m)0，得m1且m5.考向二弦长问题例2(2021佛山模拟)已知A，B分别为椭圆C：1(ab0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，
7、原点O到直线AB的距离为，且|AB|.(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l：ykxm与圆x2y22相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|，求k的值解(1)由题设知，A(b,0)，B(0，a)，直线AB的方程为1，又|AB|，ab0，计算得出a2，b，则椭圆C的离心率为e.(2)由(1)知椭圆方程为 1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y，得(3k24)x26kmx3m2120，直线l与椭圆相交，则0，即48(3k2m24)0，且x1x2，x1x2.又直线l与圆x2y22相切，则，即m22(k21)而|MN|，又|MN|，所以，即5k43k220，解得k1，且满足0，故k的值为1
8、.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|(k为直线斜率，k0)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式2.(2022安徽黄山摸底)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点P是椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值是4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，0，且|，求此时直线AC的方程解(1)由题意知，当点P是椭圆上(或下)顶点时，PF1F2的面积取得最大值此时，SPF1F22cb4，又e，a2b2c2，解得a4，b2，故所求椭圆的方程为1.(2)
9、由(1)知F1(2,0)，由0得ACBD.当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时，|14，不符合题意；当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，其方程为yk(x2)由消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|x1x2|.直线BD的方程为y(x2)，同理，可得|.由|，解得k21，则k1.故所求直线AC的方程为xy20或xy20.考向三中点弦、弦中点问题例3已知椭圆y21.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；(3)求过点P且被P点平分的弦
10、所在直线的方程解(1)当弦过原点时，弦的中点坐标为(0,0)当弦不过原点时，设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x，y)，则有y1，y1.两式作差，得(y2y1)(y2y1)0.x1x22x，y1y22y，kAB，代入后求得kAB.又kAB2，2，x4y0，点(0,0)也满足上式故所求的轨迹方程为x4y0.(2)当l的斜率不存在时，弦的中点坐标为(1,0)当l的斜率存在时，若l过原点，则弦的中点坐标为(0,0)，若l不过原点，不妨设l交椭圆于A，B，弦中点为M(x，y)由(1)知，kl.又klkMN，.整理，得x22y2x4y0，点(1,0)，(0,0)也满足上式又由得
11、或故所求的轨迹方程为x22y2x4y0.(3)由(1)知，弦所在的直线的斜率k，其方程为y，即2x4y30.处理中点弦问题时应注意的两点(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：但要注意这个方法的前提是必须保证直线和椭圆有两个不同的交点，直线不过原点(2)在求中点弦的轨迹时，要注意由于中点一定在曲线内部，因此只能是轨迹方程表示的曲线在圆锥曲线内部的那部分而不是全部若是轨迹方程，则必须确定出变量的取值范围注意本例(2)中只规定x，y之一的范围是不够的3.(2021黑龙江佳木斯模拟)已知椭圆5x29y245，则以M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线l的方程为_答案
12、5x9y140解析设直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得1，1，直线l的斜率k.由两式相减，得5(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，整理可得5(x1x2)9(y1y2)0，即59k0，即k.所以直线l的方程为y1(x1)，即5x9y140.4焦点是F(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_答案1解析设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦AB的中点坐标为，且，.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得23，所以a23b2，又c2a2b250，所以a
13、275，b225，故所求椭圆的标准方程为1.考向四切线问题例4(2022山西太原模拟)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|OF|，且AOB的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线y2上是否存在点M，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)由|AB|OF|，AOB的面积为，得 c，ab，a2，b，即椭圆的方程为1.(2)假设直线y2上存在点M满足题意，设M(m，2)，当m2时，从M点所引的两切线不垂直当m2时，设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k，则切线l的方程为yk(xm)2，由得(12k2)x24k(mk2)x2
14、(mk2)240，0，(m24)k24mk20，设两切线的斜率分别为k1，k2，则k1k21，m，即点M的坐标为(，2)或(，2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线5.已知椭圆C：1，过P(2，2)作椭圆C的切线，则切线方程为_答案x8y140或x2解析1，P在C外部当斜率不存在时，易知x2为椭圆一切线；当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y2k(x2)，代入C中并整理得(34k2)x216(kk2)x16k232k40.直线与椭圆相切，0.即16(kk2)24(34k2)(16k232k4)0.化简得k，即x8y140.切线方程为
15、x8y140或x2.6已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1(ab0)，则椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：1(ab0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则OCD面积的最小值为_答案解析由题意，得2c2，即c1，a2b21，将点代入椭圆方程，可得1，解得a，b1，即椭圆的方程为y21，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为xy2y1，令x0，得yD，令y0，可得xC，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x20，y20，y1，所以SOCD2，即SOCD，当且
16、仅当y，即点B的坐标为时，OCD的面积取得最小值.自主培优(十六) 椭圆中最值问题的求解方法1(2021全国乙卷)设B是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A.BCD2答案A解析由P在C上，设P(x0，y0)，则y1，又B(0，1)，所以|PB|2x(y01)2，由y1，得x55y，y01,1，代入上式，得|PB|255y(y01)2，化简，得|PB|242，y01,1因此当且仅当y0时，|PB|的最大值为.故选A.2已知F是椭圆1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|PF|的最大值和最小值解由题意知a3，b，c2，F(2,0)设椭圆右焦点为F，
17、则|PF|PF|6，所以|PA|PF|PA|PF|6.当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取到最大值|AF|或最小值|AF|.所以|PA|PF|的最大值为6，最小值为6.3(2022衡水调研)椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知c，b1，椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m2
18、30.36k2m24(3k21)(3m23)36k212m2120.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立当k0时，直线l的方程为y，则|AB|.综上所述，|AB|max2.当|AB|最大时，AOB的面积取得最大值为S|AB|max.答题启示椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)或利用基本不等式求最值的问题；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标
19、，转化为三角问题求解对点训练1(2021青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5B4C3D2答案A解析椭圆的方程为1，a24，b23，c21，B(0，1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|PC|4，|PB|4|PC|，|PA|PB|4|PA|PC|4|AC|5，即|PA|PB|的最大值为5.2设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5BC7D6答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q(x，y)，则x21010y2，
20、且x ，1y1，所以圆心(0，6)到点Q的距离d，当y时，dmax5，P，Q两点间的最大距离ddmax6.解法二：易知圆心坐标为M(0,6)，|PQ|的最大值为|MQ|max，设Q(cos，sin)，则|MQ|，当sin时，|MQ|max5，所以|PQ|max56.故选D.3(2021江西九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的方程为yxm，直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，求PAB面积的最大值解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，解得则b，故椭圆C的方程为1.(2)直线l的方程为yxm，由题知m0，设
21、A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组整理得x22mx2m240，直线l与椭圆C有两个异于点P的交点，所以(2m)24(2m24)0，即2m2，即b0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以，又b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆C的方程为1.5(2021南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A.BCD答案C解析解法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减，得.因为kAB1，且x1x28，y1y22，所以，e，故
22、选C.解法二：将直线方程xy50代入1(ab0)，得(a2b2)x210a2x25a2a2b20，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，又由中点坐标公式知x1x28，所以8，解得a2b，所以cb，所以e.故选C.6已知椭圆C：1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且，则直线l的方程为()Ayx1Byx1Cyx1Dyx1答案B解析依题意，设直线l：ykx1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，整理得(9k25)x218kx360，(18k)2436(9k25)0，由此解得k，即直线l的方程为yx1，故选B.7(2022云南昆明模拟)中心为
23、(0,0)，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是()A.1B1C.1D1答案C解析c5，设椭圆方程为1，联立方程消去y，整理得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，由根与系数的关系得x1x21，解得a275，所以椭圆的方程为1.8(2021皖北名校联考)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A.BCD答案B解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为yxm，由消去y，得5x28mx4(m21)0，由0，得m20，|AB|的最大值为，故选B.9已知椭圆1(
24、ab0)的左焦点为F1(2，0)，过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为()A.1B1C.1D1答案B解析由左焦点为F1(2,0)，可得c2，即a2b24.过点F1作倾斜角为30的直线的方程为y(x2)，即3yx20.则圆心(0,0)到直线的距离d1.由直线与圆x2y2b2相交的弦长为b(b0)，可得2b(b0)，解得b2，则a2.则椭圆的标准方程为1，故选B.10(2021河南许昌模拟)点A，B分别为椭圆1(ab0)的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MFAB，则该椭圆的离心率为()A.BC
25、D答案B解析由题意作出椭圆如图，MFAB，且OCAB，MFOC，MFOD， ，得到，即，又，2(ac)ac，a3c，e.故选B.11(2022山西临汾摸底)已知椭圆：1(0b1)，联立方程组(2a21)x26a2x10a2a40，因为直线l与椭圆相切，所以36a44(2a21)(10a2a4)0，化简得a46a250，即a25或a21(舍去)，则a.又c1，所以e.15(2022河南郑州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线yx的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_答案1解析设椭圆方程为1(ab0)，由题意可知c1，即a2b21，设点F(1，0)关于直线yx的对称
26、点为(m，n)，可得2.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线yx上，所以有，联立，解得即对称点坐标为，又该点在椭圆上，代入椭圆方程可得1，联立，解得a2，b2，所以椭圆C的方程为1.16已知椭圆1(ab0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于，则点P到直线QM的距离为_答案b解析设A(x0，y0)，则B点坐标为(x0，y0)，则，即，由于1，则，故，则，不妨取M(a,0)，则直线QM的方程为bxayab0，则点P到直线QM的距离为db.17(2021合肥模拟)如图，已知椭圆1的右焦点为F，设直
27、线l：x5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BNl.解由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)(1)直线l1的倾斜角为，斜率k1.直线l1的方程为yx1.代入椭圆方程，可得9x210x150.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|.(2)证明：设直线l1的方程为yk(x1)代入椭圆方程，得(45k2)x210k2x5k2200.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设N(5，y0)，A，M，N三点共
28、线，y0.而y0y2y2k(x21)0.直线BNx轴，即直线BNl.18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1，0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1,0)，F2(1,0)，所以|F1F2|2，c1.又因为|DF1|，AF2x轴，所以|DF2| .因此2a|DF1|DF2|4，从而a2.由b2a2c2，得b23.因
29、此椭圆C的标准方程为1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：1，a2.因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x1代入圆F2的方程(x1)2y216，解得y4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)又F1(1,0)，所以直线AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.将x代入y2x2，解得y.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y(x1)，得y.因此E.解法二：由(1)知，椭圆C：1.如图，连接EF1.因为|BF2|2a，|EF1|EF2|2a，所以|EF1|EB|，从而BF1EB.
30、因为|F2A|F2B|，所以AB.所以ABF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴因为F1(1,0)，由得y.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y.因此E.19(2021天津高考)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|.(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MPBF，求直线l的方程解(1)易知点F(c,0)，B(0，b)，故|BF|a，因为椭圆的离心率为e，故c2，b1，因此椭圆的方程为y21.(2)设点M(x0，y0)为椭圆y21上一点，由题意，知y00，先证明直线M
31、N的方程为y0y1，联立消去y并整理得x22x0xx0，4x4x0，因此，椭圆y21在点M(x0，y0)处的切线方程为y0y1.在直线MN的方程中，令x0，可得y，由题意可知y00，即点N，直线BF的斜率为kBF，所以直线PN的方程为y2x，在直线PN的方程中，令y0，可得x，即点P，因为MPBF，所以kMPkBF，即，所以4y2x0y010，所以4y2x0y0y0，整理可得(x05y0)20，所以x05y0，所以y6y1，又y00，故y0，x0，所以直线l的方程为xy1，即xy0.20(2021新高考卷)已知椭圆C的方程为1(ab0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(
32、2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2y2b2(x0)相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|.解(1)由题意，知椭圆的半焦距c且e，所以a，所以b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)得，曲线为x2y21(x0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：yk(x)，即kxyk0，由直线MN与曲线x2y21(x0)相切可得1，解得k1，联立可得4x26x30，所以x1x2，x1x2，所以|MN|，所以必要性成立；充分性：设直线MN：ykxm(km0)相切可得1，所以m2k21，联立可得(13k2)x26kmx3m230，所以x1x2，x1x2，所以|MN| ，化简得3(k21)20，所以k1，所以或所以直线MN：yx或yx，所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|.
