1、河南省开封市铁路中学2020高三数学下学期模拟考试试题 理一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合 , 则( ).A B C D2.设为虚数单位，复数( ). A B C D3.下列结论中正确的是( ).命题：的否定是；若直线上有无数个点不在平面内，则；若随机变量服从正态分布，且，则；等差数列的前项和为，若，则.A B C D4.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为( ).A B C D5.某产品的研发费用万元与销售利润万元的统计数据如表所示，研发费用（万元）4235利润（
2、万元）492639根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则( ).A. B. C. D. 6.在中，分别是角的对边，若成等比数列，( ).A B 1 C D7.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ).A BC D8.若实数满足不等式组则的最大值是 ( ).A1 0 B1 1 C1 3 D1 49.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆内的有( ).A2个 B3个 C4个 D5个10.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是( ).11.已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的
3、准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为( ). 12.已知定义在上的函数满足.当时,设在上的最大值为，且的前项和为，则 ( ).A. B C D 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知，那么的展开式中的常数项为 .14.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为 .15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为_ _.16.直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为_.三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，
4、B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0（）求角B的大小；（）若a=3，点D在AC边上且BDAC，BD=，求c18（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BCDE，如图2（）求证：平面PBC平面PEC；（）求二面角BPED的余弦值19（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为
5、0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（）完成下面的 22列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差附：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）20（12分）给定椭圆C：+=1（
6、ab0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1l2；（2）求证：线段MN的长为定值21（12分）已知函数f（x）=（t1）xex，g（x）=tx+1ex（）当t1时，讨论f（x）的单调性；（）f（x）g（x）在0，+）上恒成立，求t的取值范围选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）已知直线l：3xy6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极
7、坐标系中，曲线C：4sin=0（）将直线l写成参数方程（t为参数，0，），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30的直线，交l于点A，求|AP|的最值选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+1|+|2x1|3的解集为x|mxn（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=nm，求+的最小值答案部分一、选择题题号123456789101112答案ADDAADDDBDCB二、填空题13. 14. 15. 16. 17（12分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0（）求角B
8、的大小；（）若a=3，点D在AC边上且BDAC，BD=，求c【解答】解：（）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，整理得：2cosBsin（A+C）=sinB，由于：0B，则：sinB0，解得：，所以：B=（）点D在AC边上且BDAC，在直角BCD中，若a=3，BD=，解得：，解得：，则：，所以：cosABD=，则：在RtABD中，=故：c=518（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BC
9、DE，如图2（）求证：平面PBC平面PEC；（）求二面角BPED的余弦值【解答】（）证明：AD=2AB，E为线段AD的中点，AB=AE，取BE中点O，连接PO，则POBE，又平面PEB平面BCDE，平面PEB平面BCDE=BE，PO平面BCDE，则POEC，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，BEEC，则EC平面PBE，ECPB，又PBPE，且PEEC=E，PB平面PEC，而PB平面PBC，平面PBC平面PEC；（）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，PB=PE=2，则B（，0，0），E（，0，0），P（0，0，），D（2，
10、0），=（，）设平面PED的一个法向量为，由，令z=1，则，又平面PBE的一个法向量为，则cos=二面角BPED的余弦值为19（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（）完成下面的 22列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（）若将频率
11、视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差附：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200K2=11.1116.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关（）（1）每次购物时，对商品和
12、服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3其中P（X=0）=（）3=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）XB（3，），E（X）=，D（X）=3=20（12分）给定椭圆C：+=1（ab0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1l2；（2）求证：线段MN的长为定值【解答】解：（I）由准
13、圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e=，解得：a=，b=1，椭圆的标准方程：；（）证明：（1）准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0直线y=kx+2与椭圆相切，=144k249（1+3k2）=0，解得k=1，l1，l2方程为y=x+2，y=x+2=1，=1，=1，则l1l2（2）当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，1），此时l2为y=1（或y=1），显然直线l1，l2垂直；同理
14、可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（xx0）+y0，由得 （1+3t2）x2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）23=0由=0化简整理得 （3x02）t2+2x0y0t+1y02=0，x02+y02=4，有（3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0设l1，l2的斜率分别为t1，t2，l1，l2与椭圆相切，t1，t2满足上述方程（3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0，t1t2=1，即l1，l2垂直综合知：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M
15、，N，且l1，l2垂直线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，线段MN的长为定值21（12分）已知函数f（x）=（t1）xex，g（x）=tx+1ex（）当t1时，讨论f（x）的单调性；（）f（x）g（x）在0，+）上恒成立，求t的取值范围【解答】解：（）由f（x）=（t1）xex，得f（x）=（t1）（x+1）ex，若t1，则x1时，f（x）0，f（x）递减，x1时，f（x）0，f（x）递增，若t1，则x1时，f（x）0，f（x）递增，x1时，f（x）0，f（x）递减，故t1时，f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，t1时，f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减；（2）f（x
16、）g（x）在0，+）上恒成立，即（t1）xextx1+ex0对x0成立，设h（x）=（t1）xextx1+ex，h（0）=0，h（x）=（t1）（x+1）ext+ex，h（0）=0，h（x）=ex（t1）x+2t1，t=1时，h（x）=ex0，h（x）在0，+）递增，h（x）h（0）=0，故h（x）在0，+）递增，故h（x）h（0）=0，显然不成立，t1，则h（x）=ex（x+）（t1），令h（x）=0，则x=，当0即t或t1时，若t，则h（x）在0，+）为负，h（x）递减，故有h（x）h（0）=0，h（x）在0，+）递减，h（x）h（0）=0成立，若t1，则h（x）在0，+）上为正，h（x）
17、递增，故有h（x）h（0）=0，故h（x）在0，+）递增，故h（x）h（0）=0，不成立，0即t1时，h（x）在0，）内有h（x）h（0）=0，h（x）递增，故h（x）在0，）内有h（x）h（0）=0不成立，综上，t的范围是（，选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）已知直线l：3xy6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4sin=0（）将直线l写成参数方程（t为参数，0，），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30的直线，交l于点A，求|AP|的最值【解答】解：（）直线l：3xy6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线
18、C：4sin=0转化为直角坐标方程为：x2+y24y=0（）首先把x2+y24y=0的方程转化为：x2+（y2）2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+1|+|2x1|3的解集为x|mxn（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=nm，求+的最小值【解答】解：（）|x+1|+|2x1|3，或或，解得：1x1，故m=1，n=1；（）由（）a+b+c=2，则+=（+）（a+b+c）=1+1+1+（+）+（+）+（+）+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立
