1、四川省峨眉第二中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题 文本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分）注意事项：1选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上. 2第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1.()A.i B.i C.i D.i2函数yf(x)的
2、导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区间(a，b)内 的极大值点的个数为( )A1 B2 C3 D43.设x，yR，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，则复数zxyi在复平面上对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4已知函数f(x)logax(a0且a1),若f(1)1,则a( )Ae B. C. D.5. 已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则( )A1 B0 C1i D1i6f(x)x(2 020ln x)，若f(x0)2 021，则x0等于( )A1 Bln 2 Ce De27函数f(x)x3x2在区间1,2上的最小值是为
3、( )A0 B.2 C. D.48已知函数f(x)xln x，则f(x)( )A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减C在上单调递减 D在上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A242 B244 C204 D20210.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值()A. B. C. D.11已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 021(x)( )Asin xcos x Bsin xcos x Csin
4、xcos x Dsin xcos x12已知函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值,则实数m()A0 B1 C2 D3第二部分（非选择题 90分）注意事项：1考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2本部分共11小题，共100分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13已知函数f(x) x2x,则f(x)_14.设z，则|z|_15.曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.16.若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)ex
5、f(x)的单调递减区间为_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（本题10分） (1)已知曲线yx3.求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为?18（本题12分）设f(x)a(x5)26ln x，定义域（0，+）其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值19（本题12分）已知函数f(x)x3ax2bxc在点P(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)若函数f(x)在x2时有极值，求f(x)的解析式；
6、(2)函数f(x)在区间2,0上单调递增，求实数b的取值范围20.（本题12分）峨眉山市某商场销售脆红李的经验表明，该脆红李每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出脆红李11千克(1)求a的值；(2)若脆红李的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售脆红李所获得的利润最大21.（本题12分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离22.（本题12分）已知函数f(x)x3x2ax.(1)若函数f(x)在区间1，)上单调
7、递增，求实数a的最小值；(2)若函数g(x)，对x1，x2，使f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围2022届高二下期4月月考数学试卷文科答案二、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.()A.i B.i C.iD.i解析：选Bi.2函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区间(a，b)内的极大值点的个数为(A)A1B2C3D4解析：选A3.设x，yR，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，则复数zxyi在复平面上对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：选D.由题意得所以x4，y2，所以复数z42i在复平面上对
8、应的点位于第四象限，故选D.4已知函数f(x)logax(a0且a1),若f(1)1,则a(C)Ae B. C. D.解析：选C因为f(x),所以f(1)1,所以ln a1,所以a.5. 已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则(D)A1 B0 C1i D1i解析：(1)z(a21)(a1)i为纯虚数，则有a210，a10，得a1，则有1i.6f(x)x(2 020ln x)，若f(x0)2 021，则x0等于(A)A1 Bln 2 Ce De2解析：选Af(x)2 020ln xx2 021ln x，故由f(x0)2 021，得2 021ln x02 021，则ln x00，解
9、得x01.7函数f(x)x3x2在区间1,2上的最小值是为(D)A0 B.2 C. D.4解析：f(x)3x22x，令f(x)0，得x0或x.f(1)2，f(0)0，f，f(2)4，函数f(x)x3x2在区间1,2上的最小值是4.8已知函数f(x)xln x，则f(x)(C)A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减C在上单调递减 D在上单调递增解析：选C因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)、所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数f(x)的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x，即函数f(x)的单调递减区间为9.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(
10、A)A242 B244 C204D202解析(1)如图所示，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH，则该几何体的表面积S(22)52212242.10.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值()A. B. C. D.解析：如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以tanEAB.故选C.11已知f1(x)sin xcos x，fn1
11、(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 021(x)(C)Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x解析：选Cf1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以4为周期重复出现，2 02145051，f2 021(x)f1(x)sin x+cos x.12已知函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值,
12、则实数m()A0 B1 C2 D3解析：选Bf(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x,所以f(x)3x24mxm2(xm)(3xm)由f(1)0可得m1或m3.当m3时,f(x)3(x1)(x3),当1x3时,f(x)0,当x3时,f(x)0,此时在x1处取得极大值,不合题意,m1,此时f(x)(x1)(3x1),当x 1时,f(x)0,当x1时,f(x)0,此时在x1处取得极小值选B.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13已知函数f(x) x2x,则f(x)_解析：f(x)2x1.14.设z，则|z|_解析：zi，|z|1.15.曲线y(ax1)e
13、x在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，解得a3.16.若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为_解析：设幂函数f(x)xa，因为图象过点，所以a，a2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，则g(x)exx22exxex(x22x)，令g(x)0，得2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（本题10分） (1)已知曲线yx3.求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a
14、的值为?解(1)P(1,2)在曲线yx3上，且yx2，.2分在点P(1,2)处的切线的斜率为y|x11.4分曲线在点P(2,4)处的切线方程为y21(x1)，即xy+10.5分(2)f(x)x23xa，.7分且f(x)恰在1，4上单调递减，f(x)x23xa0，.8分因此1，4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.10分18（本题12分）设f(x)a(x5)26ln x，定义域（0，+）其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)因为f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).2分令x1，
15、得f(1)16a，f(1)68a，.4分所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，.5分由点(0,6)在切线上，可得616a8a6，解得a.6分(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.7分令f(x)0，解得x12，x23.8分当0x3时，f(x)0，故f(x)的递增区间是(0,2)，(3，)；当2x3时，f(x)0，故f(x)的递减区间是(2,3).10分由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.12分19（本题12分）已知函数f(x)x3ax2bxc在点P(1，f(1)处的切
16、线方程为y3x1.(1)若函数f(x)在x2时有极值，求f(x)的解析式；(2)函数f(x)在区间2,0上单调递增，求实数b的取值范围解(1)f(x)3x22axb，.2分函数f(x)在x1处的切线斜率为3，所以f(1)32ab3，即2ab0，.3分又f(1)1abc2得abc1.4分函数f(x)在x2时有极值，所以f(2)124ab0，.5分由解得a2，b4，c3，所以f(x)x32x24x3.6分(2)因为函数f(x)在区间2,0上单调递增，所以f(x)3x2bxb在区间2,0上的值恒大于或等于零，.8分则.10分（列对一个给一分）得b4，所以实数b的取值范围是4，).12分20.（本题1
17、2分）峨眉山市某商场销售脆红李的经验表明，该脆红李每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出脆红李11千克(1)求a的值；(2)若脆红李的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售脆红李所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.2分(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2, 3x6.4分从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).6分
18、于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减（若没有例表，求出单调递增或单调递减范围各给2分），表中有一处错扣一分.10分由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分21.（本题12分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离解析：（1）因为四边形是长方形，所以，.2分因为平面，平面，所以平面.4分（2）
19、因为四边形是长方形，所以，.6分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，.7分因为平面，所以.8分（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，.9分由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，.10分因为，所以，.11分即，所以点到平面的距离是.12分22.（本题12分）已知函数f(x)x3x2ax.(1)若函数f(x)在区间1，)上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数g(x)，对x1，x2，使f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解析：(1)由题设知f(x)x22xa0在1，)上恒成立，.2分即a(x1)21在1，)上恒成立，而函数y(x1)21在1，)单调递减，则ymax3，.3分a3，a的最小值为3.4分(2)题干等价于“当x时，f(x)maxg(x)max”.6分（若没有该得分点，后面求出一个最大值就給3分）f(x)x22xa(x1)2a1在上单调递增，f(x)maxf(2)8a.8分而g(x)，由g(x)0，得x1，由g(x)0，得x1，g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当x时，g(x)maxg(1).10分由8a，得a8，实数a的取值范围为.12分
