关于解好数学问题的思考.ppt

1、第一讲 关于解好数学问题的思考泾干中学。仝昌奇一、选好解题切口，是解好数学问题的前提。要解好数学题，首先必须选好解题切口，也就是所谓抓住“题眼”，只有这样才能解决好解题的第一步，这也是关键性的一步。那么如何选好解题切口呢？具体地可以从以下四个方面入手。（一）从细审条件入手所谓细审条件，就是要弄清题所给的已知条件是些什么，弄清楚要求的结论的实质是什么，要善于将已知条件提供的信息正确地进行运用，并且建立条件与结论间的实质性的联系，从而为解好题打下基础。（1）显性条件，充分利用一道题，给出的条件，对解决和解好这一题具有十分重要的作用的。在解题的过程中必须充分利用并要全部地利用好这些条件去解题。例1设

2、f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(1)=a0求f()及f();证明f(x)是周期函数；n记an=f(2n+)，求lim(lnan)(2001年全国卷)例1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(1)=a0求f()及f();证明f(x)是周期函数；n记an=f(2n+)，求lim(lnan)(2001年全国卷)这里有五个显性条件，必须充分发挥他们的作用：（1）f(x)是偶函数f(-x)=f(x)证明f(x)是（2）

3、图象关于直线x=1对称f(1-x)=f(1+x)周期函数（3）对任意x1、x20,等都在0,范围内（4）f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)（5）f(1)=a0求f()，f()，f()例2，已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值2，求f(x)的单调区间和极大值；证 明 对 任 意 x1、x2(1，1)，不 等 式|f(x1)f(x2)|4恒成立.（2004，天津卷）例2，已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值2，求f(x)的单调区间和极大值；证 明 对 任 意 x1、x2(1，1)，不 等 式|

4、f(x1)f(x2)|4恒成立.（2004，天津卷）再看这里的显性条件的作用（1）多项式的最高次数n3 求导的应用（2）f(x)是奇函数d=0 f(x)=ax3+cx（3）f(x)有极值f(x)=3ax3+c（4）当x=1时，f(x)取得极值2 f(1)=0 f(1)=-2（5）注意在区间(1，1)上研究a=1c=-3(2)隐性条件，善于挖掘一道题，有时把存在（或否定）性条件常被隐去，往往不被人们所注意，从而导致解题错误或思维受阻。因此审题时，要思维灵活，要对概念内涵的深入理解，要对基本性质的深刻掌握，要善于从已知条件中挖掘隐性条件，从而使问题正确获解。例3，已知函数f(x)=lg ,若f(a

5、)=b，则f(-a)=()Ab Bb CD（2004年全国卷）例3，已知函数f(x)=lg ,若f(a)=b，则f(-a)=()Ab Bb CD（2004年全国卷）这里的隐性条件是f(x)=lg是奇函数f(-a)=-f(a)例4，已知sin=，cos=,(,),则m的取值范围是（）Am3B5m2Cm=0或m=8Dm=8例4，已知sin=，cos=,(,),则m的取值范围是（）Am3B5m0且 cos0且0得m3产生错误的原因是忽视了隐性条件sin2+cos2=1 m是常数（3）附加条件，特加重视一道题，在已知条件的给出中，常常有一些不起眼的的附加条件，而这些条件往往在解决这道题时起着一个十分重

6、要的关键性的作用。为此，我们不能忽视，必须在细审条件的前提下，巧用附加条件，帮助解题。例5设集合A=(x,y)|y2x1=0，B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0，C=(x,y)|y=kx+b问是否存在k、bN*，使(AB)C=？并证明你的结论。（1997年全国卷）例5设集合A=(x,y)|y2x1=0，B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0，C=(x,y)|y=kx+b问是否存在k、bN*，使(AB)C=？并证明你的结论。（1997年全国卷）由于给出的集合是点集所以可转化为图形间的关系来研究(AB)C=直线C与两抛物线A，B都不相交1b（bN*）b=2由y=kx+2 y2x1=0 xy

7、（0，1）（-1，0）（0，-1）（0，）BCA0无解k=1再由 y=x+2 4x2+2x2y+5=0是否无解进行检验（二）从咬准目标入手所谓咬准目标，就是要弄清题所要探求的结论是什么，通过对结论特征的分析，通过对结论实质的挖掘，顺藤摸瓜，找出解题思路，搭起解题桥梁。（1）分析目标，寻找思路一道题，对给出的结论如果我们加以好好地分析，并抓住它的特征，看看它的目标是什么，由此去寻找它的解题思路。例6，在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且cosA=(1)求sin2 +cos2A的值；(2)若a=，求bc的最大值.(2004年浙江卷)例6，在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、

8、c且cosA=(1)求sin2 +cos2A的值；(2)若a=，求bc的最大值.(2004年浙江卷)(1)从sin2(2)从cos2A(3)从求bc(4)已知cosA=降次单角运用倍角公式运用余弦定理(2)挖掘目标，搭起桥梁一道题，如果对目标的实质进行了挖掘，就能看出它的内在结构，能把握住解决这个问题的关键之处，也就可以搭起桥梁，作出辅助线，从而促使问题得以解决。例7，在四面体PABC中，三组对棱分别相等，且依次为5cm,5cm,4 cm，则四面体PABC的体积为_.(2004年岳阳模拟卷)例7，在四面体PABC中，三组对棱分别相等，且依次为5cm,5cm,4 cm，则四面体PABC的体积为_

9、.(2004年岳阳模拟卷)EPACDB设PB=AC=5，AB=PC=5，PA=BC=4取BC与PA中点D、E连PD、AD、DE可证得BC面PADV=BC DE AP =16V=hs线面线线FBACDMN例8，如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，(I)求证AM平面BDE；(II)求二面角A-DF-B的大小；()（2004年，浙江卷）求点B到平面CMN的距离.EFBACDMN例8，如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，(I)求证AM平面BDE；(II)求二面角A-DF-B的大小；(

10、)（2004年，浙江卷）求点B到平面CMN的距离.E用向量法研究1由正方形ABCD面ABCD面ACEF2由求证AM平面BDE3由求二面角A-DF-B的大小建立空间直角坐标系连EN ENAM利用向量数量积公式两向量法向量(3)延着目标，执果索因一道题，我们可以从抓目标去研究其结论的成立所需的条件，由此出发进行分析，而后再逆推证明，这就是“执果索因”的证题思路，这种方法能帮助我们较快地找到解决问题的途径。例9，已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求数列bn的通项公式；(2)设数列an的通项公式an=loga(1+)(其中a0，a1)，记Sn是数列an的前n项的和，试比

11、较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。（1998年全国卷）例9，已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求数列bn的通项公式；(2)设数列an的通项公式an=loga(1+)(其中a0，a1)，记Sn是数列an的前n项的和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。（1998年全国卷）数列bn的通项公式是bn=3n-2这里，Sn=loga(1+1)(1+)(1+)logabn+1=loga3由特值可猜想,(1+1)(1+)(1+)3即证,33333首先证333即证30,显然成立(三)从联想类比入手解数学题的本质就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系

12、，整个解题的思维推理过程，就是由一事物去想到另一事物的心理活动过程，实质上就是一系列广泛联想过程，所以积极广泛的由此及彼、由表及里的联想，连结生疏问题与熟知问题，从而能沟通条件与结论的联系，为解题思路起开路搭桥的作用，从而能简捷准确地获得解题途径。(1)善抓特值，转化运用一道题，在条件中常有一些特殊值出现，对这些特值我们常常要联想到数学中的有关公式和关系，并且善于将这些沟通起来，从而找出了解决问题的途径。例10，已知tan(+)=2，求的值.（2004年湖南卷）例10，已知tan(+)=2，求的值.（2004年湖南卷）由tan(+)=2得tan=以sin2+cos2=1代入，得=例11，已知t

13、an(+)=(1)求tan的值；(2)求的值.(2004年天津卷)例11，已知tan(+)=(1)求tan的值；(2)求的值.(2004年天津卷)变式已知tan(+)=2求的值(2)注重概念，回归定义一道题，应从概念中去思考去联想。也就是说一些题的求解可回归到定义上来，从定义出发去探求解决问题的途径。例12，若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设an是公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_组（写出所有符合要求的组号）.S1与S2a2与S3 a1与an q与an其中n为大于1的整数，Sn为an的前n项和.(2004年上海卷)例12，若干个能

14、惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设an是公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_组（写出所有符合要求的组号）.S1与S2a2与S3 a1与an q与an其中n为大于1的整数，Sn为an的前n项和.(2004年上海卷)本题的关键在于考察方程（组）的解是否唯一，这是对“基本量”的理解，即能否唯一确定q。例13，已知i、m、n是正整数，且1imn求证：niPmimiPni（2001年全国卷）例13，已知i、m、n是正整数，且1imn求证：niPmimiPni（2001年全国卷）从Pmi的定义出发对于1im有Pmi=m（m-1）（m-i+1）Pmimi

15、=mm mm-1 mm-i+1同理=n-1nmnmnn-i+1Pninin由于mn11nn1-1-kk（k N*）对于k=1，2，i-1都有 n-kn mm-kminiPmiPni即PniPminimi(3)重视内涵，相互沟通知识间的相互联系，是由于它们之间存在着共同之处，所以，一道题，我们必须分析其它的特征，寻求它的“根”，寻求它与共性知识点间的联系，从而得到解决问题的途径。例14，已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实根、，且|2，|2求证：(1)2|a|4+b，且|b|4，(2)反之，如果2|a|4+b，且|b|4，则|2，|2 （1993年全国卷）例14，已知关于x的实系

16、数二次方程x2+ax+b=0有两个实根、，且|2，|2求证：(1)2|a|4+b，且|b|4，(2)反之，如果2|a|4+b，且|b|4，则|2，|2 （1993年全国卷）联想：已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0的两根均大于1，试判断1+a+b的符号。x0y（1，0）设f(x)=x2+ax+b并作出图象又f(1)=1+a+b由图可知f(1)0 1+a+b0yx0（2，0）（-2，0）类似地研究例14令f(x)=x2+ax+b并作出图象2|a|0)，方程f(x)x=0的两个根x1、x2满足0 x1x2，当x(0,x1)时，证明：xf(x)0)，方程f(x)x=0的两个根x1、x2满足0

17、 x1x2，当x(0,x1)时，证明：xf(x)x1（1997年全国卷）这是二次方程，二次函数，二次不等式之间的沟通与应用。由x1、x2是方程f(x)x=0的两个根构造方程关系式f(x)x=a（x-x1）（x-x2）即f(x)=a（x-x1）（x-x2）+xf(x)x f(x)x1=a2（x-x1）2（x-x2）（x-x2+）0 x1x2 当x(0,x1)时x-x2 0这里a2（x-x1）2 0，（x-x2+）x 0 f(x)x f(x)x1 0又x x1 xf(x)(a+b+c)(a、b、cR+)例19，求证:+(a+b+c)(a、b、cR+)看式子特征，构几何图形利用两点间距离最短得证。A

18、bbaaccB例20，求证：+例20，求证：+从变形特征想原型结构。=0zyx606060000利用三角形中两边之和大于第三边得证。例21，定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3,5时，f(x)=2|x4|，则（）Af(sin )f(cos1)Cf(cos )f(sin2)(2004年福建卷)例21，定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3,5时，f(x)=2|x4|，则（）Af(sin )f(cos1)Cf(cos )f(sin2)(2004年福建卷)由f(x)=f(x+2)f(x)是以2为周期的函数。从当x3,5时f(x)=2|x4|可作出图象由于

19、|sin|1，|cos|1平移，作出f(x)在-1,1之间的图象此图象关于y轴对称又20|cos2|sin2 1 f(cos2)=f(|cos2|)f(sin2)选D xoy15432-112二、严密规范过程，是解好数学问题的关键在解题过程中，必须严密规范，绝不能出现“会而不对，做而不全”的情况，造成丢三拉四的现象。严密规范，主要是要注意以下两个方面.一是，必须严格按照题目的要求进行求解。二是，必须注意在解题的过程中，严密规范解好题，不得跳步，不能疏漏。三、强化纠错意识，是解好数学问题的保证在解题的过程中，要及时调整心态，强化纠错意识，要及时发现在解题过程中的不慎，要及时纠正在解题过程中的错误

20、，并能给予及时纠正，这对最后解好数学题，保证它的准确无误，是十分重要的。第二讲 关于高考数学试题解题策略高考数学试题解题策略大体有以下六个方面.1严密规范：严密规范，是解好数学题的根本保证。(1)题目本身中的要求；(2)解题过程中的要求。例22，解关于x的不等式0（aR）（2001年天津卷）例22，解关于x的不等式0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且=，P为GE与OF的交点，是否存在两个定点，使点P到这两点的距离和为定值？若存在，求出这两点坐标及此定值；若不存在，请说明理由。（2003年全国卷）yxAEOFPGDCB例23，如

21、图，常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且=，P为GE与OF的交点，是否存在两个定点，使点P到这两点的距离和为定值？若存在，求出这两点坐标及此定值；若不存在，请说明理由。（2003年全国卷）yxAEOFPGDCB例23，如图，常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且=，P为GE与OF的交点，是否存在两个定点，使点P到这两点的距离和为定值？若存在，求出这两点坐标及此定值；若不存在，请说明理由。点P（x，y）满足方程：+=1利用二分法分类：aa a a a

22、分类讨论：当a时点P的轨迹为圆弧，所以不存在。当a时点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。即当a 时点P到椭圆两焦点的距离之和为定值。当a 时点P到椭圆两焦点的距离之和为定值2a。2巧用方法选用恰当方法，可以提高解题速度。这种方法尤其适用于解选择题和填充题。例24，一个长方体同一个顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A2 B3 C6 D（2000年全国卷）例24，一个长方体同一个顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A2 B3 C6 D（2000年全国卷）利用特殊值检验法。设长方体同一个顶点的三条棱长分别为1，。则对角线的长=例25，已知f(

23、)=,则f(x)的解析式可取为（）ABCD（2004年湖北卷）例25，已知f()=,则f(x)的解析式可取为（）ABCD（2004年湖北卷）利用特殊值代入法取x=分别代入和中得f()=将x=代入各选择支中，只有=f(x)=例26，设P是曲线y2=4(x1)上的一个动点，则点P到点（0，1）的 距 离 与 点 P到 y轴 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为_.(2004年全国卷)例26，设P是曲线y2=4(x1)上的一个动点，则点P到点（0，1）的 距 离 与 点 P到 y轴 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为_.(2004年全国卷)利用数形结合法曲线y2=4(x1)的图象如右由图可知：

24、y轴是抛物线的准线F（2，0）是抛物线的焦点点P到点M（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和等于点P到焦点（2，0）的距离与点P到y轴的距离之和显然，连MF即为最小，最小值为y0 xM（0，1）PF（2，0）（1，0）例27，函数y=+1(x1)的反函数是（）Ay=x22x+2(x1)By=x22x+2(x1)Cy=x22x(x1)Dy=x22x(x1)（2004年全国卷）例27，函数y=+1(x1)的反函数是（）Ay=x22x+2(x1)By=x22x+2(x1)Cy=x22x(x1)Dy=x22x(x1)（2004年全国卷）利用排除法因为原来的函数值域y1，故反函数的定义域为x1。所以排除

25、A，C又因为原来的函数图象过点（1，1），故反函数的图象也过点（1，1），所以排除D。故选B例28，已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设点P4的坐标为(x4,0)，若1x42，则tan的取值范围是（）A（，1）B（，）C（，）D（，）（2003年江苏卷）例28，已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、D

26、A和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设点P4的坐标为(x4,0)，若1x4 对一切正整数n成立；(2)令bn=(n=1,2,3）判断bn与bn+1的大小，并说明理由.(2004年重庆卷)例32，设数列an满足a1=2，an+1=an+(n=1,2,3)(1)证明：an 对一切正整数n成立；(2)令bn=(n=1,2,3）判断bn与bn+1的大小，并说明理由.(2004年重庆卷)假设an 未能证得则可将其作为条件去研究第（2）问由特例可知b1b2，b2b3猜想bnbn+1事实上bn+1 bn-（an+2）-（2+-）（2+-）（-）0 bn+1 bn bn+1 bn2222222

27、22226难点化解“分析问题，解决问题”描述和概括了人的认识的全过程，这个过程的关键是“分析”，在分析中促使问题一步一步的转化，难点一个一个的化解，从而逐步促使问题的解决。具体地讲，难点化解应做好以下三个方面：第一，认真做好，第一小问；第二，尽量多做，不断捞分；第三，大胆猜想，摸索探究.BCxyO例33，如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0），（1，0），（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，设Pn的坐标为(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2(1)求a1,a2,a3及an；(2)证明

28、yn+4=1(nN*)(3)若记bn=y4n+4y4n（nN*），(2004年浙江卷)证明bn是等比数列.P1P2P3P4P5BCxyO例33，如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0），（1，0），（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，设Pn的坐标为(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2(1)求a1,a2,a3及an；(2)证明yn+4=1(nN*)(3)若记bn=y4n+4y4n（nN*），(2004年浙江卷)证明bn是等比数列.P1P2P3P4P5这里最基本的知识点是：中点坐标关系y

29、n+3=关系式：an=yn+yn+1+yn+2BCxyO例33，如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0），（1，0），（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，设Pn的坐标为(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2(1)求a1,a2,a3及an；(2)证明yn+4=1(nN*)(3)若记bn=y4n+4y4n（nN*），(2004年浙江卷)证明bn是等比数列.P1P2P3P4P5（1）从特殊到一般归纳出an+1与an的递推关系。y1=y2=y4=1，y3=，y5=。可求得a1=a2=a3=2a

30、n+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an an是常数列 an=2（n N*）BCxyO例33，如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0），（1，0），（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，设Pn的坐标为(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2(1)求a1,a2,a3及an；(2)证明yn+4=1(nN*)(3)若记bn=y4n+4y4n（nN*），(2004年浙江卷)证明bn是等比数列.P1P2P3P4P5（2）从目标中去构由 yn+yn+1

31、+yn+2=2，两边除以2，得yn+=1由中点坐标：yn+4=yn+yn+4=1 yn+4=1-（nN*）BCxyO例33，如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0），（1，0），（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，设Pn的坐标为(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2(1)求a1,a2,a3及an；(2)证明yn+4=1(nN*)(3)若记bn=y4n+4y4n（nN*），(2004年浙江卷)证明bn是等比数列.P1P2P3P4P5（3）利用（2）的结论证题由bn+1=y4n+8y4n+4=（1-）-（1-）=-（y4n+4-y4n）=-bn又b1 y5 y4 -0 数列bn是首项为-，公比为-的等比数列。谢 谢！