1、高考大题强化练(一)函数与导数综合问题1.已知f(x)=xln x- ax3+(a-1)x2,g(x)=x2- x+1.(1)当a=1时,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)当a0(x-1) 0,当a(-,-1时,h(x)在x(1,2)上单调递增,所以h(1)= -1-2,h(2)=ln 2-2-1,解得a-2,-1.当a 时,h(x)在x 上单调递减,在x 上单调递增,因为h(1)= -1-1,h(2)=ln 2-2-1恒成立,下证h =-ln(-a)+ -1-2恒成立.令p(a)=-ln(-a)+ -1,p(a)=- - 0a-2恒成立,所以a .当a 时,h(x)在x(1,2)
2、上单调递减,所以h(1)= -1-1,h(2)=ln 2-2-2,解得a .综上所述:a-2,0).2.已知函数f(x)=ex ,g(x)=ax,aZ,其中e是自然对数的底数.(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)当x0时,f(x)g(x)恒成立,求a的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ex(xln x+ln x+ +1),所以f(1)=e+2,因为f(1)=2,所以所求切线方程为 y-2=(e+2)(x-1),即 (e+2)x-y-e=0.(2)由 f(1)g(1)得 ax,即证xln x+ ,令m(x)=xln x+ ,h(x)= (x0),因为m(x)=ln x+1,所以当0
3、x 时,m(x) 时,m(x)0,m(x)单调递增,所以m(x)min=m = ,因为h(x)= ,所以当0x0,h(x) 单调递增,当x1时,h(x) ,即ex x成立,综上,amax=1.3.已知函数f(x)=2ln x+ +1的图象在(2,f(2)处切线与直线3x-4y+2=0平行.(1)求实数a的值,并判断f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)-2m-1有两个零点x1,x2,且x11.【解析】(1)f(x)= - ,所以f(2)=1- ,由题意知,1- = ,解得a=1.所以f(x)= ,所以当x 时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)由题意知g(x)=f(x)-2m-1=
4、0,即2ln x+ =2m有两个解.令F(x)=2ln x+ ,F(x)= - ,知F(x)在x 上单调递减, 上单调递增.所以0x1 1,可以证 ,所以只需证明 ,设h(x)=x- -2ln x,h(x)=1+ - 0,所以h(x)为增函数,因为 1,h(1)=0,所以h ,综上,x1+x21.4.已知函数f(x)=xln x-ax(aR).(1)讨论f(x)在(1,+)上的单调性;(2)当a=1时,求F(x)=f(x)+cos x在 上的零点个数.【解析】(1)因为f(x)=xln x-ax,所以f(x)=ln x+1-a.因为x(1,+),所以ln x0.当1-a0,即a1时,f(x)0
5、,所以f(x)在(1,+)上单调递增.当1-a1时,令f(x)=ln x+1-a=0,得x=ea-1.当x(1,ea-1)时,0ln xa-1,所以f(x)a-1,所以f(x)0,所以f(x)在(1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+)上单调递增.综上所述,当a1时,f(x)在(1,+)上单调递增;当a1时,f(x)在(1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+)上单调递增.(2)当a=1时,F(x)=xln x-x+cos x,则F(x)=ln x-sin x.设h(x)=ln x-sin x,则h(x)= -cos x.当x 时,h(x)= -cos x0,所以F(x)在 上单调递增.因为F =1+ln 0,F =ln -10,所以存在x0 ,使得F(x0)=0,且在 上F(x)0,F(x)单调递增.所以F(x0)为F(x)在 上的最小值.又因为F = 0,F = 0,所以F(x)在 上有1个零点.
