1、第2讲两直线的位置关系1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：
2、AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.1三种常见的直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxByC00(CC0)(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAyC00.(3)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，这个直线系不包括直线l2：A2xB2yC20，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)2四种常见的对称(1)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)(2)点(x，y)关于直线xa的对
3、称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x,2by)(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax,2by)(4)点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)3点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等1(2022甘肃庆阳模拟)点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为()A2BCD答案C解析点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为d.故选C.2过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y1
4、0C2xy20Dx2y10答案A解析因为所求直线与直线x2y20平行，所以设直线方程为x2yc0，又直线经过点(1,0)，得出c1，故所求直线方程为x2y10.3设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20，解得a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件4(2021安徽六安一中模拟)直线ax4y20与直线2x5yb0垂直，垂足为(1，c)，则abc()A2B4C6D8答案B解析由题意可得，1，a4c20，25cb0，解得a10，c2，
5、b12.abc4.故选B.5(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1BCD2答案B解析由yk(x1)可知直线过定点P(1,0)，设A(0，1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)的距离最大，即为|AP|.故选B.6(2022云南师大附中适应性月考)已知倾斜角为的直线l与直线m：x2y30垂直，则cos2_.答案解析直线m：x2y30的斜率是，lm，直线l的斜率是2，故tan2，0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_答案4解析解法一：设P，x0，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x，即x时取等号，故点P到直线xy0的距离的最
6、小值是4.解法二：由yx(x0)得y1，令11，得x，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线xy0的距离最小，最小值为4.(2)(2022江西南昌月考)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为_答案解析因为，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.1点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式2两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x
7、，y的系数对应相等，即一定要化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式3.点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)答案C解析设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即4x62，解得x1或x2，故点P的坐标为(1,2)或(2，1)4(2021厦门模拟)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_答案2或6解析依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6.考向三共点直线系例3已知直线l：kxy12k0
8、(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围解(1)证明：直线l的方程可化为k(x2)(1y)0，令解得所以无论k取何值，直线l总经过定点(2,1)(2)由方程知，当k0时直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线l不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意故k的取值范围是0，)共点直线系中定点的求解步骤(1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)kg(x，y)0的形式；(2)解方程组若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点5.已知直线(3a1)x(a2)y10.(1)求证
9、：无论a为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围解(1)证明：方程可化为(x2y1)a(3xy)0.由可得直线过定点M.因为点M在第一象限，故无论a为何值，直线总过第一象限(2)当a2时，直线为x，显然不过第二象限；当a2时，方程化为yx.直线不经过第二象限的充要条件为解得a2.综上，a2时，直线不经过第二象限精准设计考向，多角度探究突破考向四对称问题角度点关于点的对称例4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)答案B解析直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)
10、对称的点为(0,2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)角度点关于直线的对称例5点M(1,0)关于直线x2y10的对称点M的坐标是_答案解析过点M(1,0)与直线x2y10垂直的直线的方程为2xy20，可解得两垂直直线的交点坐标为N，则点M(1,0)关于点N的对称点为M.角度直线关于直线的对称例6光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解由得反射点M的坐标为(1,2)又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点为P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，Q点在
11、l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.解决对称问题的方法(1)点关于点的对称问题利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2ma,2nb)(2)点关于线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)(3)线关于线的对称线一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点(4)特别地，当对称轴的斜率为1时，可类比关于yx的对称问题采用代入法，如(1,3)关于yx1的对称点为(31,11)，即(2,2)6.已知直线l：2x3y10，
12、点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l的方程解(1)设A(x，y)，由已知条件得解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(1，2)的对称点P，Q均在直线l上，易得P(3，5)，Q(6，7)，再由两点式可得，
13、直线l的方程为2x3y90.解法二：ll，设l的方程为2x3yC0(C1)点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得，解得C9，直线l的方程为2x3y90.解法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即直线l的方程为2x3y90.自主培优(十五)对称问题的应用1设点P为直线l：xy40上的动点，点A(2，0)，B(2,0)，则|PA|PB|的最小值为()A2BC2D答案A解析依据题意作出图象如下：设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，连接PB1，则BB1的中点坐标为
14、，且|PB|PB1|，由对称性，得解得a4，b2，所以B1(4，2)因为|PA|PB|PA|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|PB|最小，此时最小值为|AB1|2.2. (2022河南许昌月考)在等腰直角三角形ABC中，|AB|AC|4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则|AP|等于()A2B1CD答案D解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0，0)，B(4,0)，C(0，4)设ABC的重心为D，则D点的坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1的
15、坐标为(m，0)，因为直线BC的方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在的直线上，所以kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去所以|AP|m.答题启示1光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称2充分利用数形结合、转化等思想，借助直线与直角三角形的相关知识，将动点转化到定点上去，将最值转化为定值问题对点训练1(2021合肥调研)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy3
16、0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.2在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解(1) 如图，设点B关于直线l的对称点为B，AB的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|PA|PB|PA|PB|AC|P1C|P1A|P1C|P1A|，故P1即为所求又直线AC的方程为19x1
17、7y930.联立解得P1.所以满足条件的P点坐标为.1过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线方程为()Ax2y40B2xy70Cx2y30Dx2y50答案A解析由题意可设所求直线方程为x2ym0，将A(2，3)代入上式得223m0，即m4，所以所求直线方程为x2y40.故选A.2已知直线l1：ax2y10与直线l2：(3a)xya0，若l1l2，则a的值为()A1B2C6D1或2答案C解析直线l1：ax2y10与直线l2：(3a)xya0的斜率都存在，且l1l2，k1k2，即3a，解得a6.故选C.3(2021大同一中模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与
18、l2之间的距离为()A.BCD答案B解析由l1l2得(a2)a13，且a2a36，解得a1，l1：xy60，l2：xy0，l1与l2之间的距离d.故选B.4(2022贵阳模拟)若直线l1：ax(a1)y10与直线l2：2xay10垂直，则实数a()A3B0C3D0或3答案D解析直线l1与直线l2垂直，2aa(a1)0，整理得a23a0，解得a0或a3.故选D.5直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30答案D解析设直线x2y10关于直线x1对称的直线为l2，则l2的斜率为，且过直线x2y10与x1的交点(1,1)，则l2的方程为y1(x1)，
19、即x2y30.故选D.6(2022石家庄重点高中摸底考试)已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10互相垂直，则ab的最小值为()A1B2C2D2答案B解析由已知两直线垂直得b21ab20，即ab2b21，根据b0，两边同时除以b得abb22，当且仅当b1时等号成立故选B.7若m，n满足m2n10，则直线mx3yn0过定点()A.BC.D答案B解析m2n10，m12n.mx3yn0，(12n)x3yn0，n(2x1)3yx0，直线经过定点，解得故定点坐标为.故选B.8已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，
20、则ab()A4B2C0D2答案B解析由已知，得直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为1，kAB1，a0.由l1l2，得1，b2.ab2.9(2021甘肃兰州模拟)若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为()A3B2C3D4答案A解析l1l2，AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得M所在直线的方程为xy60.因此，中点M到原点的最小距离为原点到直线xy60的距离，即3.故选A.10点P(2,5)关于直线xy10对称的点的坐标为()A(6,3)B(3，6)C(6，3)D(6,3)答案C解析设点P(2,5)
21、关于直线xy10的对称点为Q(a，b)，则解得即点P(2,5)关于直线xy10对称的点的坐标为(6，3)故选C.11(2021吉林长春质量监测)已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为()A.BCD2答案A解析直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1在y轴上的截距为4k，直线l2在x轴上的截距为2k22，因为0k0,2k220，所以四边形的面积S2(4k)4(2k22)4k2k842，故当k时，面积最小故选A.12已知三条直线l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数m
22、的取值集合为()A.BC.D答案D解析因为三条直线不能围成三角形，所以有两条直线平行或者三条直线交于同一点若l1l3，则m；若l2l3，则m；若三条直线交于同一点，由l1：2x3y10，l2：4x3y50得交点，将交点代入l3：mxy10，解得m.所以实数m的取值集合为.13已知点A(3,2)和B(1,4)到直线axy10的距离相等，则a的值为_答案或4解析由平面几何知识得AB平行于直线axy10或AB中点(1,3)在直线axy10上，当AB平行于直线axy10时，因为kAB，所以a；当AB中点(1,3)在直线axy10上时，a310，即a4.所以a或4.14设点A(1,0)，B(1,0)，直
23、线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_答案2,2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,2 15如果直线l1：ax(1b)y50和直线l2：(1a)xyb0都平行于直线l3：x2y30，则l1，l2之间的距离为_答案2解析因为l1l3，所以2a(1b)0，同理，2(1a)10，解得a，b0，因此l1：x2y100，l2：x2y0，则l1，l2之间的距离d2.16(2022乌鲁木齐模拟)点P(2,1)到直线l：mxy30(mR)的最大距离是_答案2解析直线l经过定点Q(0，3)，如图所示由图知，
24、当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ| 2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.17已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2)(1)证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.解(1)显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2)(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|4，故所证成立
