1、第2讲导数与函数的单调性1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数2由导数求单调区间的步骤(1)求定义域(2)求导数(3)由导数大于0求单调递增区间，由导数小于0求单调递减区间1在某区间内f(x)0(f(x)0，解得x1.故选D.2函数f(x)sin x2x在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C单调递增 D单调递减答案D解析f(x)cos x20时，1x2；f(x)0时，x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(
2、x)的大致图象是()答案C解析由题意可知函数f(x)在(1，2)上单调递增，在(，1)和(2，)上单调递减，故选C.5(2021山西太原模拟)f(x)在(0，)上的导函数为f(x)，xf(x)2f(x)，则下列不等式成立的是()A20212f(2022)20222f(2021)B20212f(2022)20222f(2021)C2021f(2022)2022f(2021)D2021f(2022)2022f(2021)答案A解析令g(x)，x(0，)，则g(x)0，则g(x)在(0，)上为增函数，20212f(2022)20222f(2021).6(2022广西柳州月考)设函数f(x)x29ln
3、 x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是 答案(1，2解析f(x)的定义域为(0，)，且f(x)x.由f(x)x0，解得0x3.因为f(x)x29ln x在a1，a1上单调递减，所以a1，a1(0，3，所以解得10)，令f(x)0，解得0x0.当x1，0时，f(x)0.当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1，0上单调递减当方程f(x)0可解时，确定函数的定义域，解方程f(x)0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区
4、间1.当x0时，f(x)x的单调递减区间是()A(2，) B(0，2)C(，) D(0，)答案B解析f(x)1，令f(x)0，0x0，当x(0，)时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；若a0，当x时，f(x)0.若a0，当0x0；当x1时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，).若a0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0.即af(3)f()Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3)Df()f(3)f(2)答案D解析因为f(x)1xsin x，所以f(x)1cos x，当x(0，时，f(x)0，所以
5、f(x)在(0，上是增函数，所以f()f(3)f(2).(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)3，且对任意的xR总有f(x)3，则不等式f(x)3x15的解集为 答案(4，)解析令g(x)f(x)3x15，则g(x)f(x)30，所以g(x)在R上是减函数又g(4)f(4)34150，所以f(x)3x15的解集为(4，).利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，再由单调性比较大小或解不等式的问题5.(2021青岛二中模拟)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f(x)，且满足f(x)x21的解集是()A
6、(，1) B(1，)C(2，) D(，2)答案D解析令g(x)f(x)x2，则g(x)f(x)2xx21可化为f(x)x21，而g(2)f(2)22341，所以不等式可化为g(x)g(2)，故不等式f(x)x21的解集为(，2).故选D.6(2021全国乙卷)设a2ln 1.01，bln 1.02，c1，则()Aabc BbcaCbac Dcab，故排除A，D.令f(x)2ln (1x)(1)(x0)，则f(x)，因为当0x2时，x22x，所以当0x2时，12xx212x2x，即1x，所以当0x0，f(x)单调递增，所以f(0.01)f(0)0，所以ac.同理，令g(x)ln (12x)(1)
7、(x0)，则g(x)，因为当x0时，(12x)214x，所以当x0时，g(x)0，g(x)单调递减，所以g(0.01)b.综上可得，acb，故选B.角度根据函数的单调性求参数例4(1)若函数f(x)2x33mx26x在区间(1，)上为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1 B(，1)C(，2 D(，2)答案C解析f(x)6x26mx6，由已知条件知x(1，)时，f(x)0恒成立解法一：设g(x)6x26mx6，则g(x)0在(1，)上恒成立若36(m24)0，即2m2，满足g(x)0在(1，)上恒成立；若36(m24)0，即m2，则解得m2，m2，故m2，故选C.(2)(2022南昌一中模拟
8、)若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 答案(1，)解析f(x)ax2，由题意知，f(x)0在(0，)上有解，即ax22x10有解当a0时，显然满足；当a0时，只需44a0，1a0.综上可知，a1.(1)f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f(x)0(0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系(2)二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论7.(2021四川成都棠湖中学二诊模拟)若f(x)是(0，)上的减函数，则实数a的取值范围
9、是()A1，e2 Be，e2Ce，) De2，)答案D解析由题意，当xa时，f(x)1(ln x1)ln x，则ln x0在xa时恒成立，则a1；当0xa时，f(x)1，则10在0xa时恒成立，即3axa在00；f(x)在(0，)上是减函数，a4aaa ln a，解得ln a2，即ae2，故解得ae2，故选D.8(2021安徽铜陵质量检测)函数f(x)cos 2xa(sin xcos x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 答案，)解析f(x)2sin 2xa cos xa sin x因为函数f(x)在上单调递增，所以f(x)0在上恒成立，即a(cos xsin x)2sin 2x在上恒成
10、立令sin xcos xt，则sin 2xt21，t1，所以a2.因为函数yt在1，上是增函数，所以a2，所以实数a的取值范围是，).自主培优(五) 构造法在导数中的应用1设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)答案C解析f(x)g(x)，f(x)g(x)0.f(x)g(x)在a，b上是增函数当axb时，f(a)g(a)g(x)f(a).2(2021贵阳市、黔东南州部分重点中学联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f(x)，且对任意实数x都有f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1
11、的解集为()A(，0) B(0，)C(，1) D(1，)答案B解析设g(x)exf(x)1，则g(x)exf(x)exf(x)ex.因为f(x)f(x)1，所以exf(x)exf(x)ex，即exf(x)exf(x)ex0，故g(x)在R上单调递增因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，所以g(0)1，不等式exf(x)ex1，即g(x)g(0)，则x0.故选B.(1)若知xf(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)xf(x)；一般地，若知xf(x)nf(x)(n0)的符号，则构造函数g(x)xnf(x)(n0).(2)若知xf(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)；一般地，若知x
12、f(x)nf(x)(n0)的符号，则构造函数g(x)(n0).(3)若知f(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)exf(x)；一般地，若知f(x)nf(x)(n0)的符号，则构造函数g(x)enxf(x)(n0).(4)若知f(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)；一般地，若知f(x)nf(x)(n0)的符号，则构造函数g(x)(n0).1(2022南昌调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意的x0都有2f(x)xf(x)0成立，则()A4f(2)9f(3) B4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2) D3f(3)2f(2)答案A解析根据题意
13、，令g(x)x2f(x)，其导函数g(x)2xf(x)x2f(x)，又对任意的x0都有2f(x)xf(x)0成立，则当x0时，有g(x)x2f(x)xf(x)0恒成立，所以函数g(x)在(0，)上为增函数，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，则有g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(2)g(2)，且g(2)g(3)，所以g(2)g(3)，即4f(2)9f(3).2(2021陕西西安长安区二模)已知f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，若对任意实数x都有f(x)f(x)1，且有f(1)2，则不等式f(x)1ex1的解集为 答案
14、(1，)解析构造函数g(x)，g(x)0，所以g(x)在R上单调递增因为g(1)0，所以f(x)1ex10g(x)0x1，所以不等式f(x)1ex1的解集为(1，).1函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()答案D解析由函数f(x)的图象可知，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，所以在(，0)上，f(x)0，在(0，)上，f(x)0.故选D.2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2.故选D.3(2022甘肃兰州模拟)函数f(x
15、)1xsin x在(0，2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减D在(0，)上单调递减，在(，2)上单调递增答案A解析因为f(x)1cos x0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上为增函数故选A.4函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1，1 B(0，1C1，) D(0，)答案B解析函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得00)的单调递增区间是()A(，1)B(1，1)C(1，)D(，1)(1，)答案B解析函数f(x)的定义域为R，f(x).由于a0，要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得x(1，1).故选B.6已知函数f
16、(x)x33x，若在ABC中，角C是钝角，则()Af(sin A)f(cos B)Bf(sin A)f(cos B)Cf(sin A)f(sin B)Df(sin A)f(sin B)答案A解析因为f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，故函数f(x)在区间(1，1)上是减函数，又A，B都是锐角，且AB，所以0AB，所以0sin Asin cos B1，故f(sin A)f(cos B).7(2021冀州中学模拟)若函数f(x)的导函数f(x)x24x3，则使函数f(x1)单调递减的一个充分不必要条件是()Ax(0，1) Bx0，2Cx(2，3) Dx(2，4)答案C解析由f
17、(x)0，即x24x30，得1x3，函数f(x)在(1，3)上单调递减函数f(x1)在(2，4)上单调递减故D为充要条件，C为充分不必要条件8f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若a0)，则F(x).因为x0，xf(x)f(x)0，所以F(x)0，故函数F(x)在(0，)上为减函数又0a0，a1，函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A2a5 Ba5C3a5 D1a2答案A解析函数f(x)在R上单调递增，当x1；当x1时，f(x)2x0恒成立，令g(x)2x3ax4，x1，)，则g(x)6x2a，a0，g(x)0，即g(x)在1
18、，)上单调递增，g(x)g(1)2a4a2，要使当x1时f(x)0恒成立，则a20，解得a2.函数f(x)在R上单调递增，还需要满足a11a ln 1，即a5.综上，实数a的取值范围是2a5.故选A.10.若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案B解析由图象可知，函数的定义域为x|xa且xb，f(x)在(，a)上为增函数，在(a，0上先增后减，在0，b)上为减函数，在(b，)上先减后增A项中f(x)的定义域为x|x1且x1，此时a1，b1.f(x)，则f(2)0，则x1或1x1，此时f(x)在各对应区间上为增函数，符合题意同理可检验
19、C，D不符故选B.11(2021四川攀枝花市第二次统考)已知函数f(x)的导函数为f(x)，满足xf(x)2f(x)，且f(1)e，已知a(2)，bln ，csin ，则()Af(c)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(c)Cf(b)f(a)f(c)Df(c)f(b)f(a)答案A解析xf(x)2f(x)，x2f(x)2xf(x)ex，x2f(x)ex，x2f(x)exm，又f(1)e，则eem，解得m0，f(x)，f(x)，x(0，2)时，f(x)0，f(x)在(0，2)上单调递减，而a(2)8，bln 0，0bsin且sin1，c1，bac，f(c)f(a)f(b)，故选A.12已知函数
20、f(x)x sin xcos xx2，则不等式f(ln x)f2f(1)的解集为()A(e，) B(0，e)C(1，e) D答案D解析因为f(x)x sin xcos xx2是偶函数，所以ff(ln x)f(ln x)，所以f(ln x)f2f(1)可变形为f(ln x)0，所以当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以f(ln x)f(1)等价于1ln x1，所以xe.13函数f(x)的单调递减区间是 答案(0，1)和(1，e)解析由f(x)0得解得0x1或1x0.15若函数f(x)x2在上是增函数，则实数a的取值范围是 答案解析
21、由已知得，f(x)2xa，若函数f(x)在上是增函数，则当x时，2xa0恒成立，即a2x恒成立，即a，设u(x)2x，x，则u(x)22x.若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围为 答案(，1解析设G(x)f(x)x2，则G(x)f(x)2x，当x(0，)时，G(x)f(x)2x0，又G(x)f(x)(x)2f(x)x2G(x)，G(x)为偶函数，G(x)在0，)上单调递增，在(，0)上单调递减由f(a2)f(a)44a，可得f(a2)44aa2f(a)a2，f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(a2)G(a)，|a2|a|，a1.故实数a的取值范围为(，1.17(2021江苏南通高
22、三检测)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，得即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，).综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，).18设函数f(x)ax2a
23、ln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.解(1)f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：g(x)，令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以s(x)在(1，)内为增函数，所以s(x)s(1)0，所以ex1x，从而g(x)0.19(2022山西朔州模拟)已知函数f(x)a ln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数
24、g(x)x3x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)；当a0时，f(x)为常函数，无单调区间(2)由(1)及题意，得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t，3)上有变号零点g(0)2，g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，故m0，得m.所以m9.即实数m的取值范围是.
