1、第2讲概率、随机变量及其分布考情解读1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题1随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0P(A)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率
2、P(A).(3)几何概型的概率P(A).2条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).3相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)4独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.5超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.此时称随机变量X服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.6离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1
3、，x2，xi，xn，X取每一个值xi的概率为P(Xxi)pi，则称下表：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn为离散型随机变量X的分布列(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质：pi0，p1p2pipn1(i1,2,3，n)(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn为X的均值或数学期望(简称期望)D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做随机变量的方差(4)性质E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)；XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)；X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)7正态分布若XN(，
4、2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3p2，E(1)E(2) Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)E(2)答案A解析随机变量1，2的分布列如下：112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.押题精练 1有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A. B. C. D.答案D解析有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；
5、设事件A为“取出球的编号互不相同，”则事件A包含了CCCCC80个基本事件，所以P(A).2箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是()A. B.C. D.答案B解析由题意得任取两球有C种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为，故4人中有3人中奖的概率为C()3.故选B.3甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠
6、军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)解(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列设此数列为an，则易知a140，an10n30，Sn300.解得n12(舍去)或n5，总决赛共比赛了5场则前4场比赛的比分必为13，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C()4.(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.又P
7、(X220)2()4，P(X300)C()4，P(X390)C()5，P(X490)C()6.所以，X的分布列为X220300390490P所以X的均值为E(X)220300390490377.5(万元)(推荐时间：50分钟)一、选择题1(2014课标全国)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. B. C. D.答案D解析4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，所求概率为1.2已知菱形ABCD的边长为4，ABC150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距
8、离大于1的概率为()A. B1 C. D1答案D解析P1.3已知(x，y)|，直线ymx2m和曲线y有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)，1，则实数m的取值范围为()A，1 B0，C，1 D0,1答案D解析如图，由题意得m0，根据几何概型的意义，知P(M)，又P(M)，1，所以S弓形2,2故0m1.4已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是()A. B. C.
9、D.答案D解析设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB).则所求概率为P(B|A).5将三个骰子各掷一次，设事件A为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是()A.， B.，C.， D.，答案A解析根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少有一个骰子掷出3点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率因为“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有66655591(种)，“三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C5460(种)
10、，所以P(A|B).P(B|A)的含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下，“至少有一个骰子掷出3点”的概率，所以P(B|A)，故选A.6设随机变量服从正态分布N(2,9)，若P(c)P(c)P(c2)即c与c2关于2对称，则有2c3.二、填空题7(2014江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_答案解析从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P.8将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可
11、以出现4次，5次或6次，故所求的概率PC6C6C6.9(2014浙江)随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则D()_.答案解析设P(1)a，P(2)b，则解得所以D()01.10连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列anSn是其前n项和，则S53的概率是_答案解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S53即5次试验中1发生一次，1发生四次，故其概率为C()1()4.三、解答题11一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到
12、任一小球的可能性相等)(1)求取出的小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为X，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设取出的小球中有相同编号的事件为A，编号相同可分成一个相同和两个相同P(A).(2)随机变量X的可能取值为3,4,6.P(X3)，P(X4)，P(X6).所以随机变量X的分布列为X346P所以随机变量X的数学期望E(X)346.12.(2014山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落
13、点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1.记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j0,1,3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意得DA
14、3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1
15、B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量的分布列为所以012346P所以数学期望E()012346.13在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知，XB(6，)P(Xk)C()k()6k(k0,1,2,3,4,5,6)X的分布列为X0123456PE(X)(01112260316042405192664)4.或因为XB(6，)，所以E(X)64.即X的数学期望为4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)C()2()4C()5()6.答教师甲在一场比赛中获奖的概率为.
