1、2021届高三年级苏州八校联盟第三次适应性检测数 学 试 卷（满分150分 考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则=A BCD2复数zC，在复平面内z对应的点Z，满足，则点Z所在区域的面积 A B C D3九章算术是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去
2、粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为 A斤 B斤 C斤 D斤4设三点A，B，C不共线，则“向量与夹角是钝角”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(第6题图)5设，则 A BC D6已知函数的图像如右图所示，则此函数可能是 A BC D7若数列Fn满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+ Fn-2 (n3)，则Fn称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近等等若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（备注：，） A
3、31万 B51万 C217万 D317万8平面直角坐标系xoy中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点已知点，若整点P满足，则点P的个数为 A10B11 C14 D15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9 已知函数，则 Af(x)在区间上递增 Bf(x)的图象关于点对称Cf(x)最小正周期为 Df(x)的值域为0,410某学校组织知识竞赛，每班组成四人小组参加比赛，比赛采用抢答形式，答对则得5分，否则得0分高三（10）班由甲、乙、丙、丁四人组队参赛最后统计结果为：甲、乙、丙、丁四人得
4、分恰好由高到低排列，且均不相同；甲答对题个数的2倍小于丁答对题个数的3倍，则 A甲至少答对了11道题 B乙至少答对了9道题C丁至少答对了8道题 D高三（10）班至少获得了170分11在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则A四边形ABCD不可能为平行四边形B存在四边形ABCD，满足A=CC若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA,OB斜率之积恒为2D若OAC为正三角形，则该三角形的面积为12平行六面体ABCD-A1B1C1D1（底面为平行四边形的四棱柱）中，AB=AD=AA1=2， A1AB=DAB=A1AD=600，则 A线段AC1的长度为 B异面直线B
5、D1、B1C夹角的余弦值为 C对角面BB1D1D的面积为 D四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13以坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点A(3，1)，则C的标准方程为 14展开式中，的系数为 (第15题图)15“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点另外，由于转子引擎的轴向运转特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆
6、心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如下图所示)设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则该“莱洛三角形”的面积为 16已知函数在0，2上的最大值为M，最小值为m，则M + m= 四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）BACD(第17题图)如图，在平面四边形ABCD中，（1）若，求三角形ABD的面积；（2）若 求的大小18（本小题满分12分）已知数列an为等比数列，且各项均为正数，是与的等差中项记正项数列bn前n项之积为Tn，b1=1， （1）求数列与的通项公式；（2）证明：19（本小题满分12分）(第19题图)
7、PBACDQ如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值20（本小题满分12分）(第20题图)某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；（2） 假设20
8、17年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有(0t0由于是与的等差中项，可得，又a1=2，所以，因此，从而，即an=2n 2分由bn0, b1=1，当时，得，故，b1=1，b2=2均符合上式，所以 4分（2），6分因此有： 8分要证不等式成立，即证由可得数列递增，10分所以由此 12分(第19题图)PBACDQ（亦可运用二项式定理证明）19（本小题满分12分）如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边
9、形；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值【解析】（1）方法1：设在平面内的射影为E，由QC=QD可得EC=ED，所以点E在CD的垂直平分线上 2分由ABCD是菱形，且，故直线AE与CD的交点即为CD的中点F4分因为PA平面ABCD，QE平面ABCD，所以，从而PA，QE共面，因此 PQ，FA共面，所以PQFA为平面四边形6分方法2：证明CD平面AFQ， 2分再证明CD平面PAF 4分由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合即P、Q、F、A共面，FPBACDQPBACDQxyzF所以PQFA为平面四边形 6分（2）分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示
10、的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，当时，由可得,所以Q的坐标为， 8分可求平面的一个法向量为 10分设直线与平面所成角为，则，从而直线与平面所成角的正弦值为12分20.（本小题满分12分）某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图(第20题图)（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；（2） 假设2017年底该
11、地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有(0t10)变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n年脱贫工作后该地区小康户数为（i）求并写出与的关系式；（ii）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值【解析】（1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在元、元、元、元、元、元的家庭数依次为：户；户；户；户；户；户；共计50户，其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：户2分若从这50户中再取出10户调查致贫原因，这10户中含有“特困户”的户数服从H(10，23，50)的
12、超几何分布，因为当时，所以户； 4分（2）因为每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有变为小康户，但小康户仍有变为特困户”，所以有（） 5分，即8分（），由可得， 10分记函数，其中，因函数是开口向上的二次函数，且其对称轴为，则函数在上单调递减，又，故最大的正整数 12分21.（本小题满分12分）已知圆，点，P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线与直线EP相交于点Q（1）若m=2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；（2）若m=1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C过E点作两条互相垂直的直线，与曲线C交于两点A、B，与曲线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点试
13、问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由【解析】（1）m=2时，点F在圆E外，由Q是线段PF的垂直平分线与直线EP的交点，又点Q在线段PE外，故有，于是有，又由，即，由双曲线定义知点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线 3分（不说明扣1分）（2）当时，同（1）可得，故Q点的轨迹C是以E，F为左右焦点的椭圆，又，故曲线C方程: 5分设， 当时，直线MN与x轴重合， 6分 由，消去得，因点E在椭圆内，所以有恒成立，且，由点在直线上，即因直线相互垂直，故可设，同理可得8分（）若，则有，此时，直线MN方程：则有，化简整理得：此时直线MN恒过点 10分（）若，则有，此时，
14、或此时直线MN过点； 综上可知直线MN恒过定点 12分其它解法根据情况酌情给分22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）设函数，当时，求函数零点的个数；（2）求证：【解析】（1）由题意可得：， 当时， ， 在上单调递增， 2分 当时， ， 在上单调递增， 又， 且的图象在内连续不断， 使得， 且当时，；当时，在内单调递减，在内单调递增， 综合可知：在内单调递减，在内单调递增，4分又， 且的图象在内连续不断， 使得， 函数在内零点的个数是2. 6分（2）证明：要证明，即证：即证：，（*）设，则在内单调递减，所以要证（*）成立，只需证 8分（法一）设，则又设，在内单调递减，又使得，即， 10分当，单调递增，当，单调递减，所以，=0，所以原命题得证. 12分（法二）设，则所以在单调递减，在单调递增，所以， 10分，即证成立所以原命题得证. 12分
