1、第2课时导数的几何意义课后训练巩固提升A组1.如果曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线过点(-1,2),那么有()A.f(2)0D.f(2)不存在解析:由题意知切线过点(2,3),(-1,2),所以切线的斜率k=f(2)=0.故选C.答案:C2.已知函数f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则在f(x)的图象上A,B的对应点附近,有()A.A处下降,B处上升B.A处上升,B处下降C.A处下降,B处下降D.A处上升,B处上升解析:所给图象是导函数的图象,且点A处f(x)0,函数f(x)的图象在点A处的切线斜率小于0,在点B处的切线斜率大于0.故选A.答案:A3.已知曲线y=f(x)=x2
2、+2x在某点处的切线的斜率是4,则该切点的横坐标为()A.-2B.-1C.1D.2解析:y=f(x+x)-f(x)=(x+x)2+2(x+x)-x2-2x=xx+(x)2+2x,=x+x+2.f(x)=x+2.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=x0+2.由已知x0+2=4,得x0=2.故选D.答案:D4.若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点P(1,3),则b等于()A.3B.-3C.5D.-5解析:点P(1,3)既在直线上又在曲线上,3=k+1,3=1+a+b,解得k=2,a+b=2.y=x3+ax+b的导数为y=3x2+a,312+a=k=2,a=-1,b=3.故选A
3、.答案:A5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析:由y=(x+2x+a)=2x+a,得y|x=0=a.因为切线的斜率为1,所以y|x=0=a=1.又因为点(0,b)在直线x-y+1=0上,所以b=1.故选A.答案:A6.设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1)处的切线的斜率为.解析:由偶函数的图象和性质可知应为-1.答案:-17.曲线y=f(x)=3x+x2在点(1,f(1)处的切线方程为.解析:曲线y=f
4、(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率k=5.f(1)=4,切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1.答案:y=5x-18.已知P是抛物线y=x2上一点,且过点P的切线与直线y=-x+1垂直,则过点P的切线方程为 .解析:设点P(x0,).由已知得过点P的切线的斜率k=y=2x0=2,故x0=1,从而点P(1,1).因此,过点P的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.答案:y=2x-19.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的大致图象如图所示,其导数的大致图象如图所示,则y=f(x)对应;y=g(x)对应;y=h(x)对应.解析:根据导数的几何意义求解.由于曲线y=
5、f(x)在任一点处的切线斜率均小于0且保持不变,故y=f(x)对应B.曲线y=g(x)在任一点处的切线斜率均小于0,且随x的增大,切线的斜率增大,且趋近于0.故y=g(x)对应C.曲线y=h(x)在任一点处的切线的斜率均大于0,且先小后大,故y=h(x)对应A.答案:BCA10.如果曲线y=f(x)=x2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行,求切点的坐标与切线方程.解:切线与直线y=3x+4平行,切线的斜率为3.设切点的坐标为(x0,y0),则y=(x+2x0+1)=2x0+1,2x0+1=3,可得x0=1.将x0=1代入y=x2+x-3,得y0=-1,切点的坐标为(1,-1).切线的方
6、程为y+1=3(x-1),即3x-y-4=0.11.已知曲线y=x3上一点P,求:(1)曲线在点P处的切线的斜率;(2)曲线在点P处的切线方程.解:(1)由y=x3,得y=3x2+3xx+(x)2=x2.因为y|x=2=22=4.所以曲线在点P处的切线的斜率等于4.(2)曲线在点P处的切线方程为y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.B组1.已知函数f(x)的图象如图所示,f(x)是函数f(x)的导函数,则下列数值大小比较正确的是()A.2f(2)f(4)-f(2)2f(4)B.2f(4)2f(2)f(4)-f(2)C.2f(2)2f(4)f(4)-f(2)D.f(4)-f(2)2f(4
7、)2f(2)解析:由导数的几何意义知,f(2)为曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率,f(4)为曲线y=f(x)在点(4,f(4)处的切线斜率,过点(2,f(2),(4,f(4)的割线的斜率为.由函数f(x)的图象易知f(2)f(4),即2f(2)f(4)-f(2)2f(4),故选A.答案:A2.若曲线y=f(x)=x3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=()A.2B.1C.-1D.1解析:f(a)=3a2,曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).切线与x轴的交点为.三角形的面积为|a3|=,解得a=1.答案:D3.过
8、点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线的方程为()A.2x+y+3=0B.3x-y+5=0C.2x+y+1=0D.x-y+1=0解析:由于点(-1,0)不在抛物线y=x2+x+1上,故设切点坐标为(x0,y0).y=2x+1,切线的斜率为2x0+1.又y0=+x0+1,切线方程为y-x0-1=(2x0+1)(x-x0).将点(-1,0)的坐标代入切线方程,得x0=0或x0=-2.当x0=0时,y0=1;当x0=-2时,y0=3.这时可以得到两条直线方程,经验证,只有D符合.答案:D4.下列点中,在曲线y=f(x)=x2上,且在该点处的切线的倾斜角为的是()A.(0,0)B
9、.(2,4)C.D.解析:设该切点的坐标为(x0,f(x0),则f(x0)=(2x0+x)=2x0=tan=1,可得x0=,故该切点为.故选D.答案:D5.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-b=0,则实数a的值为.解析:y|x=2=6x+(x)2+12=12.由题意知a0,从而=12,得a=1.答案:16.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是.解析:y|x=1=(2+3x)=2,所求直线的斜率k=2.直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:2x-y+4=07.如图,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y
10、=-2x+5,则f(2)+f(2)=.解析:曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程是y=-2x+5,f(2)=-2,f(2)=-4+5=1,f(2)+f(2)=1+(-2)=-1.答案:-18.求过点P(3,5),且与曲线y=x2相切的直线方程.解:y=2x.由于点P不在曲线上,故设切点为A(x0,),x03,则切线的斜率为y=2x0.所求切线过P(3,5)和A(x0,)两点,y=kPA,即2x0=,解得x0=1或x0=5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.所求的切线有两条,切线方程分别为y-1=2(x-1),y-25=10(x-5),即y=2x-1,y=10x-25.9.已知直线l:y=x+a(a0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,求a的值及切点的坐标.解:设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0).设函数f(x)=y=x3-x2+1,则f(x)=3x2-2x.由题意知,切线的斜率k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1.于是切点的坐标为或(1,1).当切点为时,由=-+a,得a=.当切点为(1,1)时,由1=1+a,得a=0(舍去).故a的值为,切点坐标为.
