1、第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义对应学生用书P45【梳理自测】一、任意角1若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限2(教材改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案：1.A2.C以上题目主要考查了以下内容：角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角与角的终边相同k360，kZ(或k2，kZ)二、
2、弧度制1圆中等于半径长的弦所对的圆心角的弧度数为_2弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_答案：1.2.46以上题目主要考查了以下内容：(1)定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度；弧长公式：l|r；扇形面积公式：S扇形lr|r2三、任意角的三角函数1已知角的终边上一点A(2，2)，则的大小为()A. B.Ck36045，kZ Dk36030，kZ2已知角的终边过点P(1，2)，则sin ()A. B.C D3若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_答案：1.C2.B3.(1，)以上题目主要考
3、查了以下内容：(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线【指点迷津】1一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦2两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧3三个注意(1)注意易混概
4、念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用，不可写2k60，kZ.(3)注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题4四个公式(1)与终边相同的角度公式(2)角的弧度数(弧长公式)(3)扇形面积公式(4)三角函数定义公式对应学生用书P46考向一象限角及终边相同的角(1)如果是第三象限的角，那么，2的终边落在何处？(2)写出终边在直线yx上的角的集合【审题视点】利用象限角及终边相同的角的表示方法求角【典例精讲】(1)由是第三象限的角得2k2k
5、2k2k，即2k2k(kZ)角的终边在第二象限；由2k2k得24k234k(kZ)角2的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴(2)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ【类题通法】(1)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0，2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角1若角的终边与角的终边相同，求在0，2)内终边与角的终边相同的角解析：2k(kZ)，(kZ)依题意02k，kZ.
6、k0，1，2，即在0，2)内终边与相同的角为，.考向二三角函数的定义(1)(2014大庆模拟)已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A.B.C. D.(2)若角的终边在直线y2x上(x0)，求cos 2的值【审题视点】(1)|OP|1，P点在第四象限(2)设终边上点M(t，2t)，求cos .【典例精讲】(1)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.故选D.(2)设P(t，2t)(t0)为角终边上任意一点，则cos .当t0时，cos ；当t0时，cos .因此cos 22cos211.【类题通法】1.三角函数定义的理解在直角
7、坐标系xOy中，设P(x，y)是角终边上任意一点，且|PO|r，则sin ；cos ；tan .2定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值2角终边上一点P(4m，3m)(m0)，则2sin cos 的值为_解析：由题意，有x4m，y3m，所以r5|m|.当m0时，r5m，sin ，cos ，则2sin cos .当m0时，r5m，sin ，cos ，则
8、2sin cos .答案：考向三扇形的弧长及面积公式已知一扇形的圆心角是，半径为R，弧长l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【审题视点】(1)把换成弧度制，直接用公式l|R.(2)用R表示S，求其最大值，再求l和.【典例精讲】(1)60 rad，lR10(cm)(2)由题意得l2R20，l202R(0R10)S扇lR(202R)R(10R)RR210R.当且仅当R5时，S有最大值25.此时l202510，2 rad.当2 rad时，扇形面积取最大值【类题通法】(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化
9、，在弧度制下可以应用弧长公式：lr|，扇形面积公式：Slrr2|，求弧长和扇形的面积(2)应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便3扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦AB的长解析：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角的弧度数为，则有，解得，由|得2，|AB|2sin 1(cm)弦长AB为2sin 1(cm)考向四三角函数线的应用在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .【审题视点】作出满足sin ，cos 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围【典例精讲】
10、(1)作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.【类题通法】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：用边界值定出角的终边位置；根据不等式(组)定出角的范围；求交集，找单位圆中公共的部分；写出角的表达式4(2014合肥调研)函数ylg(34sin2x)的定义域为_解析：34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)答
11、案：(kZ)对应学生用书P47 错用三角函数的定义(2014天津模拟)已知角的终边上一点P(3a，4a)(a0)，则sin _【正解】x3a，y4a，r5|a|.(1)当a0时，r5a，sin .(2)当a0时，r5a，sin .sin .【答案】【易错点】(1)角的终边是一条射线，而不是直线该题中，我们只能确定角的终边所在直线(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r5a，结果得到下列错误的解法：sin .【警示】(1)区分两种三角函数定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则sin y，cos x，tan ，但如果不是
12、在单位圆中，设角的终边经过点P(x，y)，|OP|r，则sin ，cos ，tan .(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系1(2013高考江西卷)如图，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令ycos x，则y与时间t(0t1，单位：s)的函数yf(t)的图象大致为()解析：选B.通过圆心角将弧长x与时间t联系起来圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为，则x，如图所示，cos 1t，即cos 1t，则ycos x2cos212(1t)212(t1)21(0t1)其图象为开
13、口向上，在0，1上的一段抛物线2已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()ABC. D.解析：选B.取终边上一点(a，2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，故cos 22cos21.3(2013高考福建卷)已知函数f(x)则f_解析：分步求函数值，先内后外，ftan 1，ff(1)2(1)32.答案：24(2012高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为_解析：如图，连AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作ADPC于D点由题意知的长为2.圆半径为1，BAP2，故DAP2.DPAPsincos 2，PC1cos 2，DAAPcossin 2，OC2sin 2.故(2sin 2，1cos 2)答案：(2sin 2，1cos 2)
