1、第2课时直线与双曲线的位置关系课后训练巩固提升A组1.若直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=x,顶点(2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点,故选D.答案:D2.过双曲线=1(a0,b0)上任一点P引与实轴平行的直线,交两渐近线于M,N两点,则的值为()A.a2B.b2C.2abD.a2+b2解析:设P(x0,y0),双曲线的渐近线方程为y=x.令y=y0,得M,N,则=a2=a2.答案:A3.双曲线=1的被点P(2,1)平分
2、的弦所在的直线方程是()A.8x-9y=7B.8x+9y=25C.4x+9y=6D.不存在解析:点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性知,直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程得(4-9k2)x2-9(2k-4k2)x-36k2+36k-45=0,4-9k20.=-9(2k-4k2)2-4(4-9k2)(-36k2+36k-45)0,x1+x2=4,解得k=.代入得0,b0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)(,+)C.(,+)D.,+)解析:双曲线的第一、三象限渐近线的斜率k=,要使双曲线=1和直
3、线y=2x有交点,只要满足2即可,故2,2,e.答案:C5.(多选题)若ab0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线不可能是下图中的()解析:原方程分别可化为y=ax+b和=1.从B,D中的两椭圆看,a0,b0,但由B中的直线可得a0,b0,矛盾,故B不可能;从D中的直线可得a0,矛盾,故D不可能.由A中的双曲线可得a0,但由直线可得a0,b0,矛盾,故A不可能.由C中的双曲线可得a0,b0,b0)相交于A,B两点,则直线l的倾斜角的范围是.解析:由得x2-k2(x-)2=1,即(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知解得k2-
4、10,即k1或k-1,故直线的倾斜角范围是.答案:7.过双曲线2x2-y2=6的左焦点F1,作倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,则|AB|=.解析:由双曲线的方程得,两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30,且直线过左焦点,所以直线AB的方程是y=(x+3),联立,得方程组消去y,得5x2-6x-27=0,解这个方程得x1=3,x2=-,分别代入直线AB的方程,得y1=2,y2=,所以A,B的坐标分别为(3,2),.所以|AB|=.答案:8.已知双曲线的中心在原点,一个焦点坐标为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则双曲线
5、的方程为.解析:由题意知中点坐标为-,-,设双曲线方程为=1,M(x1,y1),N(x2,y2),则=1,=1,-,得,即,得,解得a2=2,故双曲线方程为=1.答案:=19.给定双曲线x2-=1,过点B(1,1)是否能作直线m,使它与所给的双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?若存在,求出m的方程;若不存在,请说明理由.解:假设存在直线m过点B与双曲线交于Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点.当直线m的斜率不存在时,显然只与双曲线有一个交点;当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y-1=k(x-1),由知(2-k2)x2+(2k2-2k)x-(k2-2k+3)=0,设该方程的两根
6、为x1,x2,由根与系数的关系,得x1+x2=2,解得k=2.当k=2时,=(2k2-2k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-80,因此不存在满足题意的直线.10.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若直线l与双曲线C的两支交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为,求实数k的值.解:(1)由消去y整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由题意知解得-k,且k1.故实数k的取值范围为(-,-1)(-1,1)(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2=-,x1x2=-.
7、又直线l恒过点D(0,-1),且x1x20,b0),则=1,整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(-12),a2=-4a2+4b2,5a2=4b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线E的方程为=1.答案:B3.设A1,A2分别为双曲线C:=1(a0,b0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,)C.(,+)D.(1,2)解析:设M(x,y),由题意得A1(-a,0),A2(a,0),则,则.又因为点M在双曲线上,所以=1y2=b2,代入中可
8、得2=e2-12e1,故选B.答案:B4.设双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为.解析:如图,由双曲线的对称性,不妨设kBF0.双曲线的渐近线方程为y=x,F(5,0),直线过F且斜率为,方程是y=(x-5).由=1,即10x=34,x=,y=-,而|AF|=c-a=5-3=2,SAFB=|AF|y|=2.答案:5.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是.解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0,则=4m2+4m2+8=8m2+80.设A(x1
9、,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,解得m=1.答案:16.已知双曲线C:=1(a0,b0)的离心率为,右焦点为F,若过点M(1,0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A,B两点,且=4,则此双曲线的方程为.解析:由e=,得c2=3a2,又c2=a2+b2,则b2=2a2.直线l的方程为y=x-1,将其代入=1得x2+2x-1-2a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,x1x2=-1-2a2,y1y2=x1x2-(x1
10、+x2)+1=-2a2+2.又F(a,0),则=(x1-a,y1),=(x2-a,y2),得=x1x2-a(x1+x2)+3a2+y1y2=4,则a2-2a+3=0,从而a=,则a2=3,b2=6,故所求的双曲线方程为=1.答案:=17.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.(1)求线段AB的长;(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?解:由得(3-a2)x2-2ax-2=0.由题意可得3-a20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.(1)|AB|=.(2)由题意知,OAOB,则=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(ax1+
11、1)(ax2+1)=0.即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,故(1+a2)+a+1=0,解得a=1.经检验,当a=1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.8.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2,其中O为原点,求k的取值范围.解:(1)设双曲线C的方程为=1(a0,b0),由已知得a=,c=2.又因为a2+b2=c2,所以b2=1,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1中,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线交于不同的两点得,即k2,且k22,得xAxB+yAyB2,而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)+2=,于是2,解此不等式得k23.由得k21.故k的取值范围是.
