1、28直线与圆锥曲线的位置关系激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器目前我国的高能激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题问题(1)我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？(2)用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？知识点直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C
2、1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图像和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2| .直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示：不
3、一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定解析：选A直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交2直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A BC D答案：C3已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a等于_解析：由消去y得ax2x10，所以解得a.答案：直线与圆锥曲线的位置关系例1(链接教科书第160页例2、第161页例3、第162页例4)对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解
4、由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2).当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，0直线与曲线相交；0直线与曲线相切；0直线与曲线相离跟踪训练1直线y2x4与抛物线y24x的交点坐标为_解析：由消去y，得x25x40.解得或答案：(1，2)或(4，4)2直线l：yk(x)与曲线C：x2y21(x0)交于P，Q两点，l的倾斜角的取值范围为_解析：曲线C：x2y21(x1或kb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.跟踪训练1直线yx1与双曲线x21相交于A
5、，B，则AB中点P的坐标为_解析：由得4x2(x1)240.化简，得3x22x50.设此方程的解为x1，x2，则有x1x2，设P(xP，yP)，xP，yP.答案：2若点(3，1)是抛物线y22px(p0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是_解析：设过点(3，1)的直线交抛物线y22px(p0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得yy2p(x1x2)，即，由题意知kAB2，且y1y22，故kAB2，所以py1y22.答案：2直线与圆锥曲线的综合问题例3(链接教科书第162页例5)顺次连接椭圆C：1(ab0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形(1
6、)求椭圆C的方程；(2)过点Q(0，2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOAkOB1，其中O为坐标原点，求|AB|.解(1)由题可知2ab2，a2b23，解得a，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，故设l的方程为ykx2(k0)，代入方程y21，整理得(12k2)x28kx60.由64k224(2k21)0，解得k2，由韦达定理可知，x1x2，x1x2.kOAkOB1，解得k25.所以|AB| .解析几何中的“设而不求，整体代换”策略“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简解题过程中，
7、巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等跟踪训练(2020北京高考)已知椭圆C：1过点A(2，1)，且a2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x4于点P，Q，求的值解：(1)因为a2b，所以椭圆的方程为1，又因为椭圆过点A(2，1)，所以有1，解得b22，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意知直线MN的斜率存在当直线MN的斜率为0时，不妨设M(2，0)，N(2，0)，则直线MA：y(x2)，直线NA：y(x2)，则yP，yQ，1.当直线MN的斜率不为0时，设直线
8、MN：xmy4(m0)，与椭圆方程1联立，化简得(m24)y28my80，64m232(m24)32(m24)0，解得m24.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2.直线MA的方程为y1(x2)，则P，即P.直线NA的方程为y1(x2)，则Q，即Q.所以1.综上，1.1椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点若|AB|8，则|AF1|BF1|的值为()A10 B12C16 D18解析：选B|AB|AF1|BF1|4a，|AF1|BF1|45812.2在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4
9、xy30解析：选C设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22.A，B在抛物线上，y8x1，y8x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，4，直线AB方程为y14(x1)，即4xy30.3已知双曲线C：x21，过点P(1，2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1，0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条4直线ykx1与椭圆1相切，则a的取值范围
10、是_，k的取值范围是_解析：直线ykx1是椭圆的切线，且过点(0，1)，点(0，1)必在椭圆上或其外部，a(0，1.由方程组消去x，得(a4k2)y22aya4ak20.直线和椭圆相切，(2a)24(a4k2)(a4ak2)16ak2(a14k2)0，k0或a14k2.0a1，014k21，k2k.答案：(0，15直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且|MN|.求直线l的方程解：设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，(1k2)(x1x2)2，(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)，化简得：k4k220，k21，k1.所求直线l的方程是yx1或yx1.
