1、课时限时检测(五十四)直线与圆锥曲线的位置关系(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难直线与圆锥曲线的位置关系1,2,39,10弦中点、弦长问题4,5,7611最值与范围问题8定值与定点问题12一、选择题(每小题5分，共30分)1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0【解析】由题意知：2，即2，点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2个【答案】B2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条【解析】结合图形分析可
2、知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)【答案】C3已知抛物线C的方程为x2y，过A(0，1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，)B.C(，2)(2，)D(，)(，)【解析】直线AB的方程为yx1，与抛物线方程x2y联立得x2x0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以20，解得t或t.【答案】D4设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16【解析】直线AF的方程为y(x2
3、)，联立得y4，所以P(6,4)由抛物线的性质可知|PF|628.【答案】B5过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是()A3x4y130 B4x3y130C3x4y50 D3x4y50【解析】设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A、B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.【答案】A6(2014山东师大附中模拟)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，(，R)
4、，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.【解析】由题意可知A，B，P.由可知又，bc，即c2b.又c2a2b2，故ab.e.【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_图892【解析】利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，那么|AF|BF|x1x22，由图可知|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取最大值为6.【答案】68已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_【解析】由题可知A1(1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x1)，则
5、(1x，y)，(2x，y)，(1x)(2x)y2x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，当x1时，取得最小值2.【答案】29(2012北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_【解析】y24x的焦点为F(1,0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60，故直线l的方程为y(x1)，将其代入y24x得3x26x34x0，即3x210x30.x或x3.又点A在x轴上方，xA3.yA2.SOAF12.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)
6、10(10分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【解】(1)由题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且左焦点为F(2,0)，椭圆C过点A(2,3)则|AF|3，|AF|5.从而有解得又a2b2c2，b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.直线l与椭圆C有公共点，(3t)212(t212)0，解得4t4.又由直线OA与l的距离d4，得4
7、，t2.24，4，符合题意的直线l不存在11(12分)(2013陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率图【解】(1)如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图图将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240.其中(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由根与系数的关系，
8、得x1x2x1x2.又A是PB的中点，故x22x1.将代入，得x1，x，可得2，且k2，解得k或k，直线m的斜率为或.法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图.A是PB的中点，x1，y1，又1，1，联立，解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，直线m的斜率为或12(13分)(2014贵阳模拟)设椭圆C：1(ab0)过点M(1,1)，离心率e，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l是圆O：x2y21的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：为定值【解】(1)因为e，a23b2，椭圆C的方程为1.又椭圆C过点M(1,1)，代入方程解得a24，b2，椭圆C的方程为1(2) 当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，则圆心O到直线l的距离d1，1k2m2将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到关于x的方程为(13k2)x26kmx3m240设直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm20，当圆的切线l的斜率不存在时，验证得0.综合上述可得，为定值0.
