1、31空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示:对应学生用书第51页基础认识知识点一空间向量的概念如图,一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60,且|F1|F2|F3|200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个力至少为多大时,才能提起这块钢板?图中的三个力F1,F2,F3是既有大小又有方向的量,它们是不在同一平面内的向量因此,解决这个问题需要空间向量的知识事实上,不同在一个平面内的向
2、量随处可见例如,正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量,就是不同在一个平面内的向量(如图) 知识梳理(1)空间向量的定义在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模如图,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记为,其模记为|a|或|.(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量,记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量
3、或相等向量知识点二空间向量的加法、减法运算平面向量的加、减法满足怎样的运算法则?提示:加法有三角形法则和平行四边形法则,减法有三角形法则空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内,成为同一平面内的两个向量 已知空间向量a,b,我们可以把它们移到同一个平面内,以任意点O为起点,作向量a,b.那么ab和ab如图所示知识梳理(1)空间向量的加法、减法类似于平面向量,定义空间向量的加法和减法运算(如图):ab;ab.(2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律:交换律:abba;结合律:(ab)ca(bc)自我检测1下列命题正确的是()A若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量
4、B零向量没有方向C若a是单位向量,则|a|1D若向量m,n,p满足mn,np,则不一定有mp答案:C2已知空间四边形ABCD中,a,b,c,则等于()AabcBcabCcab Dcab答案:B授课提示:对应学生用书第52页探究一空间向量及相关概念的理解例1给出下列命题:在同一条直线上的单位向量都相等;只有零向量的模等于0;在正方体ABCDA1B1C1D1中,与是相等向量;在空间四边形ABCD中,与是相反向量;在三棱柱ABCA1B1C1中,与的模一定相等的向量一共有4个其中正确命题的序号为_解析错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;正确,零向量的模等于0,模
5、等于0的向量只有零向量;正确,与的模相等,方向相同;错误,空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不一定相反;错误,在三棱柱ABCA1B1C1中,与的模一定相等的向量是,一共有5个答案方法技巧解决空间向量相关概念的问题时,注意以下几点:(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;(3)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;(4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的跟踪探究1.下列说法正确的是()A若|a|
6、b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量,则|a|b|C两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D若|a|b|,|b|c|,则ac解析:对于A,由|a|b|可得a与b的长度相同,但方向不确定;对于B,a与b是相反向量,则它们的模相等,故B正确;对于C,两向量相等,若它们的起点相同,则它们的终点一定相同,故C错;对于D,向量不能比较大小,故D错答案:B探究二空间向量的加法与减法运算教材P86练习3在图中,用,表示,及.解析:;.例2如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是();.ABC D解析;,故选A.答案A方法技巧1.空间向量加法
7、、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果2化简空间向量的常用思路(1)分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简(2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和(3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)跟踪
8、探究2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是_(填序号)();();();().解析:();();();().所以所给四个式子的运算结果都是.答案:授课提示:对应学生用书第53页课后小结空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同,在空间向量的加法运算中,如下事实常帮助我们简化运算:(1)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,求若干个向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和;(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为0.素养培优1对空间向量的有关概念理解不清致误下列说法中,错误的个数为()(1)若两个空间
9、向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同(2)若向量,满足|,与同向,则.(3)若两个非零向量,满足0,则,互为相反向量(4)的充要条件是A与C重合,B与D重合A1B2C3 D4易错分析向量相等,则向量的方向相同,模相等,但表示它们的有向线段的起点未必相同,终点也未必相同故(1)(4)错误反过来,方向相同,模相等的向量是相等向量,只能用“”连接,故(2)错误自我纠正(1)错误,两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关(2)错误,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小(3)正确,由0,得,所以,互为相反向量(4)错误,由,|,且,同向,但A与C,B与D不一定重合故一共有3个错误命题,正确答案为C.答案:C2对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCDA1B1C1D1中,化简.易错分析.自我纠正.