1、31空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页基础认识知识点一空间向量的概念如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且|F1|F2|F3|200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量因此，解决这个问题需要空间向量的知识事实上，不同在一个平面内的向
2、量随处可见例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量，就是不同在一个平面内的向量(如图) 知识梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为，其模记为|a|或|.(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量
3、或相等向量知识点二空间向量的加法、减法运算平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量 已知空间向量a，b，我们可以把它们移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量a，b.那么ab和ab如图所示知识梳理(1)空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：ab；ab.(2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律：交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)自我检测1下列命题正确的是()A若向量a与b的方向相反，则称向量a与b为相反向量
4、B零向量没有方向C若a是单位向量，则|a|1D若向量m，n，p满足mn，np，则不一定有mp答案：C2已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()AabcBcabCcab Dcab答案：B授课提示：对应学生用书第52页探究一空间向量及相关概念的理解例1给出下列命题：在同一条直线上的单位向量都相等；只有零向量的模等于0；在正方体ABCDA1B1C1D1中，与是相等向量；在空间四边形ABCD中，与是相反向量；在三棱柱ABCA1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个其中正确命题的序号为_解析错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；正确，零向量的模等于0，模
5、等于0的向量只有零向量；正确，与的模相等，方向相同；错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；错误，在三棱柱ABCA1B1C1中，与的模一定相等的向量是，一共有5个答案方法技巧解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点：(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的跟踪探究1.下列说法正确的是()A若|a|
6、b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D若|a|b|，|b|c|，则ac解析：对于A，由|a|b|可得a与b的长度相同，但方向不确定；对于B，a与b是相反向量，则它们的模相等，故B正确；对于C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C错；对于D，向量不能比较大小，故D错答案：B探究二空间向量的加法与减法运算教材P86练习3在图中，用，表示，及.解析：；.例2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是()；.ABC D解析；，故选A.答案A方法技巧1.空间向量加法
7、、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果2化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)跟踪
8、探究2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是_(填序号)()；()；()；().解析：()；()；()；().所以所给四个式子的运算结果都是.答案：授课提示：对应学生用书第53页课后小结空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.素养培优1对空间向量的有关概念理解不清致误下列说法中，错误的个数为()(1)若两个空间
9、向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同(2)若向量，满足|，与同向，则.(3)若两个非零向量，满足0，则，互为相反向量(4)的充要条件是A与C重合，B与D重合A1B2C3 D4易错分析向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同故(1)(4)错误反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“”连接，故(2)错误自我纠正(1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小(3)正确，由0，得，所以，互为相反向量(4)错误，由，|，且，同向，但A与C，B与D不一定重合故一共有3个错误命题，正确答案为C.答案：C2对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简.易错分析.自我纠正.