1、立体几何解答题 C1、已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面， ，为的中点，为中点() 求证：直线平面；（）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值1、法一（）取的中点为，连接， 则，且，3分 则四边形为平行四边形， 则，即平面6分 （）延长交延长线于点，连接， 则即为平面与平面的交线， 且， 则为平面和平面所成的锐二面角的平面角8分 在中，12分 法二 取中点为，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，2分（）则，设平面的法向量为，则，即4分令，则，即，所以，故直线平面6分（）设平面的法向量，则12分2、如图,在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿对角线BD把ABD折起，使
2、A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上（1）求证：BCA1D；（2）求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值解：（1）因为A1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因为BCCD，A1OCDO，BC面A1CD因为A1D面A1CD，BCA1D（6分）（2）连结BO，则A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角因为A1DBC，A1DA1B，A1BBCB，A1D面A1BCA1C面A1BC，A1DA1C在RtDA1C中，A1D3，CD5，A1C4根据SA1CDA1DA1CA1OCD，得到A1O，在RtA1OB中，sinA1BO所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为（12分）3
3、、如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 （）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由； （）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF； （）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45思路点拨：本题是一个开放型问题，考查了线面平行、线面垂直、二面角等知识，考查了同学们解决空间问题的能力。（）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（）通过证明即可解决；（）作出二面角的平面角，设出BE的长度，然后在直角三角形DCE 中列方程求解BE的长度。本题也可利用向量法解决。解: 解法一
4、:（）当点为的中点时，与平面平行-1分在中，、分别为、的中点， 又平面，而平面 平面 4分（）证明:,，又,又， -6分又,点是的中点,8分（）过作于，连，又，则平面,则是二面角的平面角，10分与平面所成角是，设，则，在中，得 12分解法二:（向量法）（）同解法一4分（）建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则 8分（）设平面的法向量为，由，得：，而平面的法向量为,二面角的大小是,所以=，得 或 （舍） 12分归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分
5、析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。 而空间向量是解答立体几何问题的有利工具，它有着快捷有效的特征，是近几年高考中一直考查的重点内容。4、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上（I）当时，求证平面（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小解：（）在平行四边形中，由，易知，2分又平面，所以平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得.，5分又，平面6分（）由（）可知,，可知为二面角的平面角， ，此时为的中点. 8分过作,连结,则平面平面,作,则平面,连结,可得为直线与平面所成的角因为,所以.10分在中，
6、直线与平面所成角的大小为.12分解法二：依题意易知，平面ACD以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，（）由有，3分易得，从而平面ACE6分 ()由平面，二面角的平面角.又，则 E为的中点， 即 ,8分设平面的法向量为则，令,得，10分从而，所以与平面所成角大小为12分5、如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点，且（）证明：平面平面； （）求棱与所成的角的大小；（）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值证明：（）面, -1分 又， 面， -3分面， 平面平面；-4分（）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， -6分，故与棱BC所成的角是 -8分（）因
7、为P为棱的中点，故易求得 -9分 设平面的法向量为，则,由 得 令，则 -11分 而平面的法向量=(1,0,0)，则 -12分ABDEC由图可知二面角为锐角故二面角的平面角的余弦值是 -13分 6、已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点沿直线BD将BCD翻折成，使得平面平面ABD（）求证：平面ABD；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值证明：（）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8， 沿直线BD将BCD翻折成 可知CD=6，BC=BC=10，BD=8，即， 故 2分 平面平面，平面平面=，平面， 平面ABD 5分（）由（）知
8、平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系 6分ABDECxyz则，E是线段AD的中点，在平面中，设平面法向量为， ，即，令，得，故 8分设直线与平面所成角为，则 9分 直线与平面所成角的正弦值为 10分（）由（）知平面的法向量为， 而平面的法向量为， ， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为7、如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为的正三角形，为的中点，为的中点 ()求证：平面； ()求证：平面； ()求直线与平面所成角的正弦值解：（）证明：设为的中点，连接，则F，四边形为正方形，为的中点，为的交点， ， ，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：连接，为的中点，为中点，
9、平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，则，.平面，平面，平面； 9分() 设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，直线与平面所成角的正弦值为. 14分8、如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（）若点是棱的中点，求证:平面；（）求二面角的余弦值；M（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.（）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 1分因为平面,平面,所以平面. 3分
10、ABCODxyzM（）解：由题意，因为，所以，. 4分又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，如图所示.所以 6分设平面的法向量为，则有即：令，则，所以. 7分因为,所以平面. 平面的法向量与平行，所以平面的法向量为. 8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 9分（）解：因为是线段上一个动点，设，则，所以， 10分则，由得，即，11分解得或， 12分所以点的坐标为或. 13分（也可以答是线段的三等分点，或）9、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，ABEF，EAB=90，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE平面ABCD。（1）若点O为线段AC的中点，求证：；（2）
11、求平面与平面所夹的角。 10、如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点。（1）求证：平面ABCD； （2）求证： （3）若二面角DPAO的余弦值为，求PB的长。（）证明：因为，是的中点，所以，又侧面PBC底面ABCD，平面，面PBC底面ABCD，所以平面 4分()证明：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设,则， 因为，所以，即 8分()解：设平面和平面的法向量分别为， 注意到， 由，令得， 由令得， 所以，解之得，所以为所求12分11、ABCDEA1B1C1(第11题图)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中 (1)
12、若BB1=BC，B1CA1B，证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B平面B1DE，求的值解：(1)因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1 3分又因为B1CA1B ，且A1BBC1=B，所以BC1平面A1BC1， 5分又B1C平面AB1C ，所以平面AB1C平面A1BC1 7分(2)设B1D交BC1于点F，连结EF，则平面A1BC1平面B1DEEF因为A1B/平面B1DE， A1B平面A1BC1，所以A1B/EF 11分所以又因为，所以 14分12、如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面
13、ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点()求证：DC平面ABC；图甲在图乙()求BF与平面ABC所成角的正弦；()求二面角BEFA的余弦（）证明：在图甲中且 ，即 (1分)在图乙中，平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD (3分)又，DCBC,且DC平面ABC (4分)（）解法一：E、F分别为AC、AD的中点EF/CD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足为点EFBE是BF与平面ABC所成的角 (5分)在图甲中，, ,设则,， (7分)在RtFEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为 (8分)解法二：如图，以B为坐标
14、原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则， (5分)可得,，, (6分)设BF与平面ABC所成的角为，由（1）知DC平面ABC (8分)（）解法一：由（）知 FE平面ABC，又BE平面ABC，AE平面ABC，FEBE，FEAE，AEB为二面角BEFA的平面角 (10分)在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦为 (12分)解法二：由（）知,，；则， (9分)设平面的法向量为，平面的法向量为，则，；解得； 即， (11分)即所求二面角BEFA的余弦为 (12分)13、在直角梯形ABCD中，AB/CD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，过E作EFCD，垂足为F，如（图一），将此梯形沿EF折成一个直二面角AEFC，如（图二）。 （1）求证：BF/平面ACD； （2）求多面体ADFCBE的体积。BCFDEAOP解：（1）连接，交于点，取中点，连接，可得，且，而，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，即，又平面，平面，所以平面.8分(2)二面角为直二面角，且，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，所以是三棱锥的高，同理可证是四棱锥的高，10分所以多面体的体积.14分